Feliz Ano Novo de 1092, 1993, 1994, ...

O colega Edmundo Capelas de Oliveira, de Campinas, SP, escreve-nos completando a escrita, em termos de 1, 9, 9, 1, de alguns números que estavam faltando RPM 18, p.70. Escreve, então, os números de 0 a 100, em termos de 1992, 1993 e   1994  usando também fatoriais e a função gama.

RPM: Os leitores têm interesse em conhecer estas expressões?

  O leitor sugere novas seções

O colega Sidney Carlos Ferrari, de Ourinhos, SP, sugere a criação de uma seção sobre vestibulares, contendo comentários e soluções ou somente os enunciados das questões dos principais vestibulares do país. O colega Wilson Pereira de Jesus, de Feira de Santana, BA, sugere a criação da seção Lições de Matemática, em que o conteúdo dos programas seria apresentado em seqüência para ser encadernado à parte, por séries. Pergunta, ainda, sobre Lógica, História (e não lendas) e reclama do que considera a pequena abrangência da SBM.

RPM: A seção O que cai por aí estará sendo iniciada em próximos números. Quanto à apresentação sistemática de conteúdo, a SBM criou a coleção Fundamentos da Matemática Elementar e a Coleção do Professor de Matemática. Por ora, é o que foi possível fazer. Quanto à abrangência da SBM, ela tem tido várias comissões trabalhando em setores diversos, mas cremos que há, em nosso país, muito o que fazer, o espaço é grande, com lugar para outras sociedades como as de Matemática Aplicada, Informática, Educação Matemática, citadas na carta do colega, e ainda outras.

  Ponto de encontro

- Rutinaldo Miranda Batista Júnior, de Jacobina, BA, não é professor de Matemática mas gosta de estudar Matemática e pretende estabelecer contato com pessoas que também se interessem pelo assunto. Gostaria também de obter informações sobre a SBM.

RPM: A SBM é uma sociedade civil, sem fins lucrativos, que congrega matemáticos, professores de Matemática e outros interessados em Matemática.   Seus principais objetivos estão ligados à formação científica e à pesquisa em Matemática. A maioria de suas publicações busca atender a esses objetivos. Para conhecer tais publicações, o leitor pode se dirigir a um sócio da SBM ou à biblioteca de Matemática de alguma Universidade próxima. Para entrar em contato com outros interessados em Matemática, o leitor pode também dirigir-se a um Departamento de Matemática de alguma Faculdade próxima ou autorizar a RPM a publicar seu endereço para troca de correspondência.

-  O colega Pedro Paulo Martins, de Três Corações, MG, gostaria de trocar idéias com outros leitores sobre os seguintes livros: Matemática, para o 1.° grau, de Ary Quintella; Matemática para o 1.° e 2.° graus, de Jairo Bezerra; Elementos de Álgebra, do saudoso professor Jacy Monteiro e Álgebra Linear, uma tradução do livro de Hoffman e Kunze.

RPM: O endereço do professor Pedro é:  Rua Pouso Alegre, 200 - Bairro das Oliveiras - 37410-000 - Três Corações, MG.

Em estado de alerta

-  A colega Polinice Medeiros Celeri, de Monte Aprazível, SP, lendo a obra de Malba Tahan As maravilhas da Matemática, 6;ª edição, p. 79, estranha a definição de  "números antipitagóricos" como números que não figuram em nenhum terno pitagórico, dando 47, 59, 67 e 71 como exemplos. A colega lembra que se n é um número ímpar, n > 3, tem-se que  

RPM: A colega tem razão e provou que qualquer número natural maior do que 2 pode ser a medida de um cateto de um triângulo retângulo com lados medidos por números inteiros. O que nem sempre será possível é considerá-lo como hipotenusa de um tal triângulo. Isto é, nem todo quadrado perfeito é soma de dois quadrados. Com efeito, na RPM 18, p. 10, há uma prova de que os ternos pitagóricos reduzidos (x,y,z) são todos do tipo x = p² q²,   y = 2pq,   z=p²+q², com p > q > 0, p e q primos entre si e não ambos ímpares. Por outro lado, estudando as várias possibilidades dos restos nas divisões de p e q por 4, verifica-se que p²+q² nunca pode ser da forma 4k + 3. Isto implica que um número primo da forma 4k + 3 nunca poderá ser o z num terno pitagórico em que x² + y² = z². Os números 47, 59, 67 e 71, exemplos dados por Malba Tahan, são todos primos que deixam resto 3 quando divididos por 4. Não é, pois, possível encontrar x e y tais que  x² + y² = 47²,  embora 47²+1104²=1105²,  como bem observou a colega.
 

-   O colega Ivo Pereira Sandes, de Recife, PE, nos avisou que na RPM 19, p. 8 "algumas unidades de tempo estão grafadas de forma irregular: por exemplo, 40 m em vez de  40min".

-   O colega Hideo Kumayama, de São Bernardo do Campo, SP, lendo o número 1 da revista Globo Ciência, 1991, encontrou na p. 111 uma versão do problema de construir 5 triângulos com 10 palitos de fósforos, cuja solução, à p. 113, é a da figura ao lado. Ele faz alguns reparos a essa solução: se os 10 palitos têm o mesmo comprimento e estão numa mesa plana, a figura não fecharia. Com efeito, os ângulos em torno do ponto central somariam 5 x 60° = 300°  e não 360°!

Uma solução desse tipo seria possível se os 5 palitos que saem do centro tivessem comprimento c e os outros 5 tivessem comprimento 2csen36°. Ou, ainda, o colega lembra que com os palitos de mesmo comprimento uma solução seria obtida pelo deslocamento do ponto central para cima do plano da mesa de modo que os 5 triângulos sejam as faces laterais de uma pirâmide. Talvez isto seja possível com o auxílio de "super bonder". Ajunta o colega uma outra solução admissível se o problema não exigir que os 5 triângulos sejam congruentes (figura ao lado).

- E o colega Régis Sant'Ana de Curitiba, PR, critica o artigo Retificaçâo de uma, circunferência e a determinação geométrica de , RPM 20, p. 39. Depois de várias observações sobre a linguagem e a notação do artigo em questão, o colega sugere a substituição da adaptação do processo de Kochansky da p. 40 pelo seguinte: Dada a circunferência de centro O e raio r, trace duas perpendiculares por O. Uma delas corta a circunferência nos pontos P e Q. Com a ajuda do compasso com abertura r, marque o ponto M na circunferência e o ponto U na reta PQ, como na figura. Unindo M a Q, marque T na reta perpendicular a PQ. Nessa mesma reta e com o compasso marque o ponto V tal que TV meça 3r. O segmento UV tem medida aproximadamente igual à metade do comprimento da circunferência.

Desta forma, o colega diminui o grau de dificuldade e aumenta a precisão. A estas críticas o colega junta outras figuras de outros processos, sempre com uma avaliação do grau de dificuldade, da precisão e da margem de erro do resultado.
 

Ainda os ternos pitagóricos

A observação da colega Polinice, de que qualquer número maior do que 2 pode ser a medida do cateto de um triângulo pitagórico, era objeto de uma proposta de artigo enviada à RPM pelo colega Moysés I. Kessel, de São Paulo, SP. O colega da capital paulista chegou a essa mesma conclusão partindo das expressões dos ternos pitagóricos do artigo da página 10 da RPM 18 (1991). Ele acrescenta que do citado artigo conclui-se também que num triângulo pitagórico o produto dos catetos é sempre divisível por 12 e o produto dos três lados é sempre divisível por 60. Conta também que um resultado provado por FERMAT é que a área de um tal triângulo não pode ser um quadrado perfeito.
 

Uma guerra e suas armadilhas

A colega Mary Gonçalves Fernandes, de Brasília de Minas, MG, pediu a um aluno, cujas notas eram baixas, que escrevesse sua opinião sobre a Matemática. O aluno, ao dissertar, comparou a aula de Matemática à guerra do Vietnã: os exercícios em sala eram as armadilhas escondidas na mata, a voz do professor era como grandes explosões das granadas, o inimigo a Matemática. Prossegue contando da sua sede e dizendo-se derrotado. Apavorada com essas revelações, a colega levou o assunto a suas alunas do 4.° ano do curso do Magistério e pediu-lhes ajuda. Em resposta, a turma criou e apresentou uma peça teatral em que são comparadas as atitudes de dois professores em sala de aula e de diferentes alunos perante o estudo da Matemática. Ao final, os alunos aplaudiram de pé a apresentação da peça.

RPM: Lamentamos que muitos alunos considerem os exercícios de Matemática como armadilhas quando eles são ferramentas que facilitam a resolução de problemas. O professor precisa mostrar com exemplos que, em vez de inimigo, a Matemática está aí para ajudar (resolução de problemas com auxílio de equações, cálculo de áreas e volumes, resolução de triângulos, ...). Ainda bem que o aluno tem sede! A busca de soluções para obstáculos surgidos no processo ensino-aprendizagem é uma atitude permanente do professor e, nessa busca, dividimos a angústia com a colega mineira. De outras partes do mundo chegam-nos também notícias do temor dos alunos à Matemática. Faltou, entretanto, no relato da colega, alguma informação sobre o impacto da apresentação da peça nas aulas de Matemática que se seguiram. A propósito, na peça, Joelma precisa ensinar à sua colega que 60% de Cr$500,00

  Uma boa sugestão

O colega Ubirajara Coutinlio Filho, de Araguari, MG, sugeriu que no rodapé das páginas da RPM fosse colocado sempre o ano da publicação.

RPM: Otima sugestão - já está sendo acatada.

  Solução do problema proposto na RPM 20, p. 13

Nas palavras de Régis Sant'Ana., de Curitiba, PR:

AC é o lugar de vértices opostos dos retângulos "deitados" e ED é o lugar de vértices opostos dos retângulos "de pé".   P  é a interseção de   AC  e  ED.