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No vestibular-92, a UNICAMP propôs a seguinte questão: Sejam A e B duas matrizes de ordens n x m e m x n respectivamente, com m < n. Prove que det(A . B) = 0, baseado em propriedades do sistema de equações lineares
Trata-se de uma questão difícil para alunos do 2° grau; devem ter sido raros os candidatos a resolvê-la. E como fui procurado por alguns colegas para discutir a resolução desta questão, achei interessante colocá-la na RPM.
notemos que (AB) X = 0 é a forma matricial de um sistema linear homogêneo de n equações a n incógnitas, onde (AB) é a matriz dos coeficientes. Provar que det(AB) = 0 equivale a provar que o sistema (AB)X = 0 é indeterminado. Temos (1) BX = 0 é um sistema linear homogêneo de m equações a n incógnitas. Como m<n, este sistema é indeterminado.
(2)
Toda solução de BX = 0 é também solução de
(AB)X
=
0,
porque BX = 0 De (1) e (2) decorre que (AB)X = 0 é sistema indeterminado. Logo det(AB) = 0 . O emprego do sistema linear citado produz, sem dúvida, uma resolução bonita do problema, mas há outras maneiras de se provar que det(A . B) = 0, usando propriedades das matrizes e determinantes.
Antonio dos Santos Machado |
(AB)