4.        Nos pontos   A   e   M   da superfície do prisma reto de base quadrada, ao lado, encontram-se, respectivamente, uma aranha e uma mosca.    Qual é o caminho mais curto sobre a superfície do prisma que a aranha deve percorrer para pegara mosca? [Tirados de fascículos da Revista Engenheiro Moderno (seção Jogos Matemáticos), dos anos 1965 e 1966. Enviados por Nelson Tunala.]   (Ver respostas na seção Explorando o Sistema de Numeração Decimal...")      Soluções dos problemas propostos na RPM 19, 2° semestre, 1991 86.  Determine os valores do parâmetro   a  de modo que a equação x2 + 4x 2 | x a | +2 a = 0 Solução: Seja   f(x) = x2 + 4x 2 |x a| + 2 a. Estudando separadamente os gráficos dos trinômios f(x) = x2 + 2x + 2 + a,    para  x > a    e    f(x) = x2 + 6x + 2 3a,    para  x a, obtemos o gráfico de    f(x),   esboçado a seguir, conforme o valor de   a.    Nestes gráficos as raízes dos trinômios são representadas pelas letras: (Resumo de soluções enviadas pelos leitores.)   87. Determine todas as seqüências finitas de números naturais consecutivos cuja soma seja igual a 1 000. Solução: O problema pede todas as progressões aritméticas finitas de números inteiros positivos, com razão igual ale soma dos termos igual a 1000. Designando por a1  o 1.° termo e por   n   o número de termos, teremos:   Como  2 000 n2   tem que ser   0,   temos  0 < n 44. n = 1 {1000} n = 5 {198, 199,..., 202}, n = 16 {55, 56, ..., 70} , n 25 {28, 29, ..., 52}. (Solução enviada por António Matos dos Santos, PR.) 88. Dado um triângulo ABC, considere 1sua circunferência circunscrita e 2 sua circunferência inscrita. Por um ponto R 1, trace as tangentes a 2 que encontram 1 em S e T. Mostre que 2 é a circunferência inscrita do triângulo  RST. Solução: Inicialmente mostraremos a Fórmula, de Euler. R2 d2 = 2Rr, onde R é o raio da circunferência 1 circunscrita ao triângulo ABC, r, o raio de 2 inscrita ao triângulo  ABC  e  d,  a distância entre os centros  O  de  1   e  I  de  2. Como o ângulo externo em I ao triângulo ABI é + , então o triângulo BID  é isósceles e, portanto,  BD = ID. A potência  P  de  I  em relação a  2   é dada por P = (R d)(R + d) = AI . ID = AI . BD Para concluir que   2   é inscrita ao triângulo   RST   mostraremos que   ST  é tangente a  2.   Para isso basta provar que  ' — ". O triângulo  SIU   é isósceles com  SU = IU.   De fato,   pois os triângulos   VUS  e   RZI  são semelhantes. Logo  ' = "   e como (Solução de Nelson Tunala, RJ e Sebastião Paulo Tonolli, SP.)   89. Determine os números naturais  a, b e c  tais que a3 b3 c3 = 3abc     e      a2 = 2(b + c). Solução: De  a3 b3 c3 = 3abc    (1),  temos que  a3 3abc e, como  a 0, a2 3bc. Como     a2 = 2(b + c)    (2),     segue que     2(b + c) 3bc   e,  portanto,    b(3c 2) 2c    (3). Quando   c = 0,   de (1) e (2) segue que   a = b  e a2 = 2b;   portanto as únicas soluções  (a,b,c),  com  c = 0,  são  (0,0,0)  e  (2,2,0). que a única solução com  b =  0 é (2,0,2), a única com  b = 1  é (2,1,1)  e que não existe solução com  b = 2  e  c > 0. (Resumo de soluções enviadas pelos leitores.)   Relação dos leitores que enviaram soluções dos problemas 86 a 89 da RPM 10 Carlos A. C. Magalhães (CE) - 87 Sérgio M. Sato (SP) - 87 Edson Roberto Abe (SP) - 87 Tsunediro Takahashi (SP) - 87-89 Hiroshi Maeda (PR) - 87 Alberto H. Raad (MG) - 87 Régis Sant'Ana (PR) - 87-89 Sebastião Paulo Tonolli (SP) - 88 Geraldo Perlino Jr. (SP) - 89 Nelson Tunala (RJ) - 86-87-88-89 Wilzanete e Levi Brasilino (PE) - 87-89 Benjamin César A. Costa (RJ) - 87-89 Roberto F. Silvestre (MG) - 86-87-89 Moysés I. Kessel (SP) - 87 Evandro de Freitas (RJ) - 87-89 Antonio Matos dos Santos (PR) - 87-89 Antonio V. Bezerra (CE) - 87-89  Cláudio Arconcher (SP) - 88   Esta aconteceu com o colega Gilberto Mejorado Escobar, de São Paulo, SP. Aluno 1: Professor, conjunto dos naturais: letra N.   Mas, conjunto dos inteiros: letra Z?   Não entendo. Aluno 2: Não seja burro, cara!   Conjunto dos númeroZinteiros!   (RPM:   Por que Z?      De Zahl, número em alemão.)