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Nelson Tunala
Alguns problemas de probabilidades são equivalentes à seleção aleatória de pontos em espaços amostrais representados por figuras geométricas. Nos modelos em apreço, a probabilidade de um determinado evento se reduz à relação ou ao seu limite, caso exista entre medidas geométricas homogêneas, tais como comprimento, área ou volume. Neste trabalho, iremos caracterizar o que vem a ser a Probabilidade Geométrica e, por meio de seus métodos, solucionar alguns problemas interessantes, como o Problema do Encontro e o clássico Problema da Agulha de Buffon.
Suponhamos que um segmento
Analogamente, suponhamos que uma
figura plana g seja parte de uma outra figura plana G e
Mostraremos, a seguir, alguns dos inúmeros problemas de determinação de probabilidades onde os métodos geométricos são os mais indicados.
Seja B um ponto escolhido ao acaso sobre um segmento OA de comprimento L. Encontrar a probabilidade P1de que o comprimento do menor dos segmentos OB e BA seja superior a L/3. Admite-se que a probabilidade de um ponto situar-se num segmento é proporcional ao comprimento deste e não depende da posição que o ponto ocupa.
Solução:
Designando por m(PQ)
o comprimento do segmento PQ,
consideremos os pontos X, Y
Assim,
Consideremos uma família de retas paralelas em IR2, onde quaisquer duas adjacentes são distantes de 2a. Determinar a probabilidade P2 de que uma moeda de raio r (r < a), lançada ao acaso sobre o plano, não intercepte nenhuma das retas. Solução: Representemos por y, a distância entre o centro da moeda e um eixo eqüidistante das duas paralelas mais próximas (figura 5).
Verifica-se,
facilmente, que a moeda não intercepta quaisquer das rotas, desde que y
< a Daí, o lugar geométrico do centro da moeda deverá ser a região retangular infinita hachurada, g, da figura6.
Tendo-se tomado, ao acaso, dois números positivos x e y, que não excedem a dois, determinar a probabilidade P3 de que o produto xy não exceda à unidade e o quociente y/x não exceda a dois. Solução:
Representando-se estas restrições em um sistema cartesiano (figura 7), resulta hachurada a região simultânea g dos casos favoráveis, enquanto a região G dos casos possíveis é dada por ]0,2]x]0,2]. A região g tem área S(g) dada por
S(g)
= Área do triângulo ODF + Área limitada pela
hipérbole y = l / x,
o eixo das abscissas, a reta x = l / Esta segunda parcela de S(g) pode ser facilmente determinada, se utilizarmos a definição geométrica de logaritmo natural (vide pp. 33 e 34 da referência [4]).
enquanto a área de G, S(G), vale 4.
Duas pessoas decidiram se encontrar em um determinado local entre 11 e 12 horas. Combinou-se previamente que a primeira pessoa a chegar esperará no máximo 15 minutos pela outra. Ache a probabilidade P4 de este encontro realizar-se neste intervalo, admitindo-se que os instantes de chegada (entre 11 e 12 horas) de cada uma das pessoas provêm do acaso. Solução:
De acordo com o enunciado, o encontro somente terá lugar
Estas restrições definem a região hachurada g da figura 8. Assim,
Em 1777, o matemático e filósofo francês George Louis Leclerc, o Conde de Buffon (1707-1788), apresentou em seu Essai d'Arithmétique Morale o seguinte problema:
Consideremos uma família de retas
paralelas em IR2,
onde duas paralelas adjacentes arbitrárias distam de a. Tendo-se
lançado, ao acaso,
sobre o plano, uma
agulha de comprimento
Solução:
Designemos por x a distância
do ponto médio da agulha à reta mais próxima e por
A posição da agulha, em relação à
reta mais próxima, é
individualizada pelos valores de x
Ainda da figura 9, deduz-se
facilmente que a agulha interceptará a reta mais próxima
Tiramos estas conclusões sobre a probabilidade de sucesso na experiência da agulha, fazendo somente um raciocínio puro, sem qualquer apelo à repetição de lançamentos.
Lançando-se a agulha n vezes sobre
o plano, o número k de vezes que ela intercepta uma reta do plano deve
ser tal que a razão k/n se aproxime tanto mais de 2
Portanto, em princípio, isto nos sugere um método experimental
para o cálculo de
A tabela seguinte foi extraída da p, 190 da referência [2] e
contém alguns dados sobre experiências realizadas com agulha, para a
determinação de
Smith e De Morgan consideravam como "meio sucesso" (atribuindo o valor 0,5) um concurso agulha-reta não muito bem definido.
Ao leitor interessado em problemas adicionais sobre o assunto, aconselhamos a seção 1.2 da referência [1] ou aseção 14.5 da referência [5].
Referências Bibliográficas [1] Gmurman, V. E. Problemas em Probabilidades e Estatística. São Paulo, Editora Mir, 1984.
[2]
Gridgeman, N. T. Geometric Probability
and lhe Number
[3] James, B.R. Probabilidade: Um Curso Intermediário. Rio de Janeiro, IMPA - Projeto Euclides, 1981. [4] Lima, E. L. Logaritmos. Rio de Janeiro, SBM - Coleção fundamentos da Matemática Elementar, 1985. [5] Tsypkin, A e Pinsky, A. Methods of Solving Problens in High School Mathematics. Moscow, Editora Mir, 1986 |
seja parte de
um outro segmento L e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de L.
Se admitirmos que a probabilidade de este ponto pertencer a
que
se tenha escolhido ao acaso um ponto de G. Se admitirmos que a
probabilidade de este ponto pertencer a g é proporcional à área de g
e não depende do lugar que g ocupa em G, então a probabilidade de
que o ponto selecionado esteja em g será (figura 2):
De
modo semelhante, determina-se a probabilidade de que um ponto dado em um sólido
r.
e a reta x = 2.
a),
determinar a probabilidade 
o ângulo
formado entre a agulha e esta mesma reta (figura 9).
].
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