Eduardo Wagner
Rio de Janeiro, RJ

A partir do número 20, a Revista do Professor de Matemática traz na capa o novo símbolo da Sociedade Brasileira de Matemática.

Como este desenho não sugere as letras S, B, M, devemos esperar que ele contenha algo de Matemática.

Realmente, há muita Matemática contida nele. E importante.

Inicialmente, devemos dizer que a razão entre a altura e a base do retângulo externo é (), que é um dos mais curiosos números da Matemática, aparecendo de forma surpreendente em diversos problemas que não possuem relação entre si*. Esse número foi chamado de   número áureo.    Retângulo áureo   é aquele em que a razão das dimensões é o número áureo. 0 símbolo da SBM mostra uma notável propriedade desse retângulo, como veremos mais adiante.

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 * Veja o artigo Retângulo áureo, divisão áurea e sequência de Fibonacci na RPM 8, p. 9. A razào áurea também aparece na RPM 14, p. 24, na RPM 16, p. 13, e nesta RPM na p. 57.

No tempo dos pitagóricos (século V, a.C.), era conhecida a divisão de um segmento em média e extrema razão. Significava dividir um segmento em duas partes, tais que a razão entre a menor parte e a maior parte fosse igual à razão entre a maior parte e o segmento total. Portanto, dividir um segmento AB em média e extrema razão (figura abaixo) significa encontrar um ponto C, interior a AB, tal que  CB/AC =AC/AB.

 

Esta divisão era tão familiar aos gregos que era chamada simplesmente de secção. Repare que, fazendo AB = a e AC = x, a igualdade  CB/AC = AC/AB   conduz à equação

x2 + ax = a2                                                                          (1)

que, resolvida, fornece

Naturalmente que os gregos não conheciam esse número na forma que o escrevemos hoje, mas já possuíam um processo para construir x na equação (1) quando a é dado, como se pode ver nos Elementos de Euclides, volume II, proposição 11.

Conta-se, ainda, que a estrela regular de cinco pontas (pentagrama) era o símbolo dos pitagóricos. Na figura, o lado AB do pentágono é cortado pelos lados CD e DE nos pontos M e N, respectivamente, e é fácil mostrar que as razões AN / AH e MN / AM são áureas (v. prova disto no fim do artigo).

Considere agora um retângulo ABCD, com a seguinte propriedade: se dele for retirado o quadrado AEFD, o retângulo EBCF restante é semelhante ao original.

Ora, observando a figura, se EBCF e ABCD são semelhantes,  então  EB/BC = BC/AB.

Como BC = AE, temos EB/AE = AE/AB e o ponto E divide AB em média e extrema razão. Conseqüentemente, a razão entre a altura e a base do retângulo que possui essa propriedade é ()/2, o numero áureo!

Este processo se propaga, ou seja, se de um retângulo áureo é retirado um quadrado, o retângulo menor é também áureo. Esta é a propriedade que pode ser vista no símbolo da SBM.

Mostraremos, a seguir, a construção do retângulo áureo, os detalhes do pentagrama e um problema para os leitores.

 

     A construção do retângulo áureo

A partir de um segmento  AB construa   BM   perpendicular  a AB    tal que    BM = AB/2.  O círculo de centro M e raio MB corta o segmento AM Construa o retângulo ABCD, tomando AD = AN. A justificativa é fácil: o teorema de Pitágoras, no ABM,  fornece

AM  = /2.

Logo,

Portanto,

 

     O pentagrama

 

Na figura, os vértices da estrela dividem o círculo em cinco partes iguais. Portanto, cada arco mede 72°. Os triângulos NBE e ABE são semelhantes porque seus ângulos internos medem 36°, 72° e   72°. Logo,


 

Mas   AN = NE (porque  )  e  NE = BE (porque  ). Temos, portanto,

e conseqüentemente essas razões são áureas. Pela semelhança dos triângulos DMN e AND, prova-se, da mesma forma, que MN /AM é também áurea .

 

     Um problema

A partir de um retângulo áureo podemos obter uma infinidade de outros, cada vez menores, como está sugerido na figura 5. Existe um ponto P que pertence a todos esses retângulos. Construa P. (Resposta no próximo número da RPM.)