O nosso amigo e colaborador Lucien J. F. Thys, de Porto Alegre, RS, ao ler o livro A Experiência. Matemática., de Davis, P. J. e Hersh, R., ficou intrigado com a seguinte passagem (p.   202):   Escolha dois números ao acaso, por exemplo 1 e 4.   Some-os, obtendo 5.    Some 4 com 5, obtendo 9.   Some 5 com 9, obtendo 14.  Continue indefinidamente este processo.  Então a razão dos números sucessivos tende, no limite, para a razão áurea. Nas palavras de Lucien Thys:

Dados dois números quaisquer,  a  e  b,  façamos  a + b = c, b + c = d,  c + d =

RPM: As condições a + b = c,   b + c = d,   c + d = e,   d + e = f,... definem uma seqüência recorrente de ordem 2. Escolhidos arbitrariamente a₁(= a) e a₂(= b), os termos seguintes são dados pela lei de recorrência   a_n+2 = a_n+1 + a_n,    n 1. A famosa seqüência de  Fibonacci, (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...), é um caso particular com   a₁ = a₂ = 1.

Na RPM 6, pp.  12 e 13, está provado que, sendo  F_n  o termo geral da seqüência de Fibonacci,

e, portanto, para a sequência de Fibonacci, a convergência se verifica.

Usaremos este resultado particular para provar que a resposta à pergunta feita é afirmativa quaisquer que sejam   a   e   b.

Seja então  F_n o termo geral da seqüência de Fibonacci (F₁  = F₂ =  1  e  F_n+2 = F_n+1 + F_n). Os termos da seqüência dada são:

a₁,    a₂,    a₃ = a₁ + a₂,    a₄ = a₁ + 2a₂,    a₅ = 2a₁ + 3a₂,

a₆ = 3a₁ + 5a₂,         ...         a_n+2  =  F_n ^. a₁ + F_n+1 ^. a₂

(esta última igualdade pode ser provada por indução).

Logo,

(Um livrinho muito bonito sobre o assunto é Seqüências Recorrentes, de Markushevich, A. I., Editora Mir. Ver RPM 17, p. 56.)

Um leitor de Rio Claro, SP, pediu a solução de um problema de contagem que constou de uma Olimpíada de Matemática da UNICAMP e que também foi tema de um artigo enviado a RPM.

Considere sobre cada lado de um triângulo equilátero n 1 pontos que, juntamente com os vértices, dividem cada lado em n segmentos de mesmo comprimento. Ligando-se todos esses pontos, dois a dois, por meio de segmentos paralelos aos lados, muitos triângulos equiláteros, de vários tamanhos, são obtidos. Qual é, em função de n, o número total de tais triângulos?

RPM: "Uma figura vale mil palavras." A figura abaixo ilustrará a nomenclatura a ser usada.

Contagem dos triângulos de tipo  T_i   ("")

Faremos, inicialmente, a contagem na figura acima:

* Número de triângulos T₁   com um só vértice na reta   y = 1 :   7,

com um só vértice na reta   y = 2 :   6,

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

com um só vértice na reta   y = 7     1.
 

* Número de triângulos T₂  com um só vértice na reta   y = 2 :   6,

com um só vértice na reta   y = 3 :   5,

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

com um só vértice na reta    y = 7 :   1.

no exemplo dado, o número total de triângulos do tipo   ""   é

Contagem dos triângulos do tipo   T '_i   ()

Começaremos, novamente, fazendo a contagem na figura acima:

*  Número de triângulos T '₁    com um só vértice na reta   y = 0 :  6,

com um só vértice na reta  y = 1 :   5,

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

com um só vértice na reta  y = 5 :    1.

Número total de triângulos   T '₁:   1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 = S₆.

* Número de triângulos T '₂   com um só vértice na reta   y = 0 :   4,

com um só vértice na reta  y = 1 :    3,

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

com um só vértice na reta   y = 3 :   1.

Número total de triângulos   T '_2:.   1 + 2 + 3 + 4 = S₄.

* Número de triângulos T '₃   com um só vértice na reta  y = 0 :   2,

com um só vértice na reta   y = 1 :  1.

Número total de triângulos   T '₃:    1 + 2 = S₂.

No exemplo dado, o número total de triângulos do tipo      é

- e, em geral, se cada lado do triângulo estiver dividido em   n   partes iguais, o número total de triângulos do tipo   é

A fórmula que dá o número total de triângulos é:

A segunda somatória de (1) terá que ser calculada separadamente, conforme  n seja par ou ímpar.

Para  n   par:   n = 2k,

Para   n   ímpar:   n = 2k 1,
 

O número total de triângulos será   (2) + (3),   se   n   for par, e   (2) + (4)  se  n   for ímpar, isto é, o número total de triângulos é, após mais alguns cálculos.