Realizou-se em Sigtuna, Suécia, em julho de 1991. A equipe brasileira foi formada por Eduardo Laber (medalha de bronze), Fernando Migliorância, Emerson Leite (menção honrosa), Elcio Deccache, Alessandro Peixoto e Rogério Makita. O Brasil classificou-se em 37° lugar entre 55 participantes. Os países que melhor se classificaram foram União Soviética, China, Roménia, Alemanha, Estados Unidos, Hungria, Bulgária, Irã, Vietnã e índia. Quatro soviéticos, um inglês, um romeno, um húngaro, um francês e um chinês obtiveram a pontuação máxima.

As questões propostas foram:

1.  (proposto pela União Soviética)

Seja I o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC. As bissetrizes internas dos ângulos A, B, C encontram os lados opostos nos pontos A',  B', C',   respectivamente. Demonstre que

2.  (proposto pela Roménia)

Sejam n um número inteiro maior que 6 e a₁,a₂, ...,a_k  todos os números naturais menores que n e relativamente primos com n. Se a₂ a₁ = a₃ a₂ = ...=a_k a_k-1> 0,   demonstre que   n   é primo ou   n  é uma potência de 2.

3.  (proposto pela China)

Seja S = {1,2,3,..., 280}. Encontre o menor número natural n para o qual qualquer subconjunto de S com n elementos contém 5 números que são dois a dois primos entre si.

4.  (proposto pela França)

Sejam ABC um triângulo e M um ponto interior. Mostre que pelo menos um dos ângulos   MAB, MBC  e   MCA  é menor ou igual a 30°.

5.   (proposto pelos Estados Unidos)

Seja G um grafo conexo com n arestas. Prove que é possível numerar as arestas de  G  de  1 até  n  de modo que, em cada vértice  V  de  G  no qual incidam duas ou mais arestas, os números dessas arestas têm máximo divisor comum igual a 1. (Um grafo consiste em um conjunto de pontos (vértices) e um conjunto de arestas ligando certos pares desses vértices. A aresta mu incide nos vértices u e v. O grafo é conexo se, para cada par {u,v} de vértices, existe um caminho u = x₀,x₁,x₂, ... ,x_k = v onde x₀x₁, x₁x₂, ..., x_k-1x_k são arestas do grafo.)

6. (proposto pela Holanda)

É dado um real a > 1. Construa uma seqüência infinita limitada x₀,x₁,x₂, ... tal que para todos números naturais   i  e j   com   i j   se tenha

I x_i x_j II i j I 1.
 

Realizou-se em Rosário, Argentina, no mês de julho de 1991, com a participação de Argentina, Brasil, Chile e Uruguai. A equipe brasileira foi formada por Márcio Palmeira, (medalha de prata), Renato Madeira (medalha de bronze), Albino Feijó (medalha de bronze) e Rodrigo Onias.

A Olimpíada do Cone Sul é uma competição para alunos que completem 16 anos no ano de sua realização ou posteriormente. O Brasil obteve o 1.° lugar por equipes, seguindo-se Argentina, Uruguai e Chile. O Chile concorreu com apenas um aluno pois os outros três não satisfaziam o limite de idade. Foi conferida uma única medalha de ouro, ao estudante uruguaio Gonzalo Tornaria Lopez.

As questões foram:

1.    Sejam  A,B,C  três pontos não colineares e  E  um ponto distinto de   B  e que não pertence à reta  AC.   Construa os paralelogramos   ABCD  (nesta ordem) e  AECF (também nesta ordem). Demonstre que   BE é paralelo a   DF.

2.    Duas pessoas  A e B jogam o seguinte jogo:   A  começa escolhendo um número natural e, em seguida, cada jogador, em sua vez, diz um número de acordo com a seguinte regra:

-   se o último número dito foi ímpar, o jogador soma 7 a este número;

-   se o último número dito foi par, o jogador o divide por 2.

Ganha o jogador que repetir o número que foi escolhido inicialmente. Encontre todos os números que   A   pode escolher para ganhar. Justifique sua resposta.

3.  Sabe-se que o número de soluções reais do sistema

é finito. Prove que ele é par.

4. Um jogo consiste de 9 botões luminosos (de cor verde ou vermelha) dispostos da seguinte maneira:

Apertar um botão do bordo do quadrado troca a cor dele e de todos seus vizinhos e apertar o botão central troca a cor de seus 8 vizinhos (mas não a dele).

Os exemplos a seguir mostram com círculos cheios as luzes que trocam de cor ao se pressionar o botão que se indica:

É possível, apertando sucessivamente alguns botões, acender todas as luzes com cor verde, se inicialmente estavam todas acesas com luz vermelha?  Justifique sua resposta.

5. Dado um quadrado ABC D de lado 1 e um quadrado interior de lado z, calcular, em função de x, o raio da circunferência que é tangente aos lados do quadrado ABCD e que passa por um vértice do quadrado interior, como se mostra na figura ao lado.

6. Dado um número natural   n 0,   seja  f(n)   a média aritmética de todos os seus divisores positivos. Por exemplo:  

      a  e   b  positivos;

(ii) Encontre todos os números naturais   n   para os quais   f(n) = 91/9.

Realizou-se em setembro de 1991, em diversas cidades do Brasil.   Foram premiados os seguintes estudantes:

1° prêmio: Emerson Ferreira Leite, SP e Ricardo Soares Stern, RJ; 2.° prêmio: Eric Campos Bastos Guedes, RJ e Márcio Luís Almeida dos Anjos, RJ; 3.° prêmio: Daniel Victor Tausk, SP, Fátima Luciano Ribeiro da Rocha, RJ e Leonardo Linhares Rodrigues, MG.

As questões propostas foram:

1. Em uma festa, toda mulher dança com algum homem e nenhum homem dança com todas as mulheres. Demonstre que existem homens  H₀ e  H₁   e mulheres M₀  e  M₁   tais que  H₀  dança com  M₀, H₁   dança com  M₁,  H₀  não dança com   M₁,  H₁   não dança com  M_0.

2. Sejam ABC um triângulo e P um ponto interior. Por P traçamos A₀B₀, A₁C₁ e B₂C₂ respectivamente paralelos a AB, AC e BC. Determine  P  tal que

3. A sequência de números reais a₁,a₂, ... ,a_n, ... é definida recursivamente por a_n+2 = a_n+1 + (K/n)a_n,  onde  K  é um número real dado.

(a)     Para que valores de K existe um polinômio não nulo p tal que a_n = p(n)?

(b)    Para que valores de   K  os termos da seqüência satisfazem

(O enunciado original foi ligeiramente modificado pela RPM.)

4.  Mostre que existe um número da forma  199 ... 91  com mais de dois noves que é um múltiplo de 1991.

5.  Seja   Q₀   o quadrado de vértices   P₀ = (1,0),  P₁ = (1,1),  P₂ = (0,1), P₃ = (0,0).  Seja   A₀   o interior deste quadrado.    Seja   P_n+4    o ponto médio do segmento   P_nP_n+1.   Q_n   é o quadrilátero de vértices   P_n, P_n+1,  P_n+2,  P_n+3.  Q_n+1  é o quadrilátero de vértices   P_n+1,  P_n+2,  P_n+3,  P_n+4.   Seja   A_n   o interior de   Q_n.   Encontre a interseção de todos os   An.