90.  Mostre que o número   N = 444 ... 4888 ... 89,  constituído por n  algarismos  4,  n 1 algarismos  8  e um algarismo 9,  é um quadrado perfeito e determine a sua raiz quadrada.

(Enviado, com solução, por Nelson Tunala, R.J.)

91.  Seja   ABCD   um quadrado de lado a. Calcule a área da figura hachurada, sabendo-se que  M  e   N   são os pontos médios de AB  e  AD,   respectivamente.     

(Enviado, com solução, por Ivanildo Dias de Lima, SP.)

92.   Dado um triângulo  ABC  qualquer, considere   M,  N,   P os pontos médios de   AB,  BC e AC,   respectivamente.  Mostre que os triângulos  AMP, BMN  e CNP são congruentes entre si.   Mostre que eles são congruentes ao triângulo determinado pelos seus ortocentros, bem como aos triângulos determinados pelos seus baricentros, incentros e circuncentros. Generalize.
(Enviado por Cláudio Possani, SP.)

93.  Uma urna contém   5   bolas numeradas de  1 até 5.  O jogador A  retira sucessivamente (com reposição) duas bolas dessa urna. Em seguida, o jogador   B   retira da urna uma única bola.    A ganha o jogo se pelo menos uma das bolas por ele retiradas tiver um número maior do que o número da bola retirada por  B. Caso contrário, a vitória é de B. Supondo que todas as retiradas são equiprováveis, determine as probabilidades de vitória dos dois jogadores.

 

... e probleminhas

1.   Temos 10 pilhas de livros, de aspecto igual. Em 9 dessas pilhas, cada livro pesa 1 kg e na pilha restante cada livro pesa 1,1 kg. Efetuando apenas uma pesagem, determinar em que pilha estão os livros mais pesados.

2.  Toda vez que Paulo lança uma moeda, Jaime lança duas. Jaime ganha o lance cada vez que tiver mais "caras" do que Paulo. Caso contrário, Paulo ganha. Se o jogo continuasse indefinidamente, quem ganharia mais vezes?

3.   Ligue os 9 pontos indicados ao lado, por meio de uma poligonal de 4 lados, passando o lápis uma só vez sobre cada lado da poligonal e sem tirar o lápis do papel.

4.  Uma determinada espécie de alga se reproduz, dividindo-se em 2 a cada dia. Assim, no primeiro dia temos 1, no segundo, 2, no terceiro 1, no quarto, 8, e assim por diante. Se, começando por uma dessas algas, precisamos de 30 dias para preencher determinado volume, em quanto tempo preencheremos o mesmo volume se começarmos com duas das referidas algas?

[Tirados de fascículos c/a Revista Engenheiro Moderno (seção Jogos Matemáticos), do ano 1965.   Enviados por Nelson Tunala.]

(Ver respostas na seção "O leitor pergunta")
 

82.   Fatorar   5¹⁸⁹⁵  1   num produto de três inteiros maiores do que   5¹⁰⁰.

Solução:

Temos   5¹⁹⁸⁵1=   (5³⁹⁷)⁵ l  = x⁵ 1   = (x 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1) =

(x 1) [ (x² + 3x + l)² 5x (x + l)² ],   onde   x = 5³⁹⁷.

O resultado segue, pois

(x² + 3x + l)² 5x (x + l)² = (5⁷⁹⁴ + 3 ^. 5³⁹⁷ + 1)² - 5³⁸⁹ (5³⁹⁷ + l)²

[5⁷⁹⁴ + 3 ^. 5³⁹⁷ +  1 5¹⁹⁹( 5³⁹⁷ + 1)] ^. [5⁷⁹⁴ + 3 . 5³⁹⁷ + 1 + 5¹⁹⁹(5³⁹⁷ + 1)]

é um produto de dois inteiros maiores do que   5¹⁰⁰ e  x 1 = 5³⁹⁷ 1 > 5¹⁰⁰ .

(Solução enviada por diversos leitores.)

83.  Num triângulo  ABC,  a bissetriz de    e a mediana relativa a  BC cortam este lado em pontos distintos   O e M,  respectivamente. O círculo circunscrito ao triângulo  AOM  encontra os lados   AB e AC em   E e F,  respectivamente. Prove que   BE = CF.

Solução:

Pelo teorema da bissetriz interna, temos:

Escrevendo as expressões das potências de B  e  C  em relação ao círculo, temos:

De (I) e (II), levando em conta que CM = BM,   temos que   BE = CF.

(Solução enviada por diversos leitores Hideo Kumayama, de São Paulo, observou que um dos pontos, E ou F, pode não pertencer ao lado correspondente, mas, mesmo assim, vale o resultado.)

84. Numa progressão aritmética, não constante, de termos inteiros positivos, o 1.° termo, o j-ésimo e o k-ésirno (1 < j < k) formam, nesta ordem, uma progressão geométrica. Determine a razão desta P.G.

Solução:

Sejam  r a razão da  P.A.,   a_n = a₁ + r(n 1),   e  q  a razão da P.G.

(Solução enviada por diversos leitores.)

85. As casas lotéricas costumam oferecer a seus clientes a oportunidade de participarem dos chamados jogos com sena fechada, que consistem na escolha de um certo número n
Considere um apostador que participa de um jogo desse tipo realizado com 15 dezenas. Se as seis dezenas sorteadas estiverem entre essas 15, além de acertar a sena, quantas quadras e quantas quinas esse apostador irá acertar?

Solução:

Supondo que as  6  dezenas sorteadas estejam no meio das  15,  vamos ter jogos com seis, cinco, quatro, três, dois, uma e nenhuma das seis dezenas sorteadas. Queremos saber quantos jogos se obtém com 5 das dezenas sorteadas e quantos se obtêm com 4 das dezenas sorteadas.

Jogos com cinco dezenas sorteadas (quinas)

Devemos formar combinações com cinco dezenas das seis sorteadas e uma das nove restantes não sorteadas. Temos:

Jogos com quatro dezenas sorteadas (quadras)

Da mesma forma, agora devemos formar combinações com quatro dezenas das seis sorteadas e duas das nove não sorteadas. Temos:

O sortudo, ou meio louco, que isto fizer ou venha a fazer, terá como sorte os prêmios: 1 sena, 54 quinas e 540 quadras .

(Solução enviada por Luiz de França Filho, de Caicó, RN.)