Zoárd A. L. Geöcze Depto. de Matemática Universidade Federal de Viçosa 36570 – Viçosa - MG      Problemas   9. Três amigos, André, Brás e Célio disputaram um torneio de xadrez, jogando o mesmo número de partidas entre si. Ao final da competição fizeram as seguintes declarações: André: “Venci o maior número de partidas!” Brás: “Perdi o menor número de partidas!” Célio: “Ganhei o maior número de pontos!” É possível que os três tenham falado a verdade? (Cada jogador ganha 0 pontos quando perde. 0,5 pontos quando empata e 1 ponto quando vence uma partida.) (Extraído do Jornal de Matemática do Ensino Médio, Hungria) 10. Sejam dadas as coordenadas dos pontos não alinhados A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C=(x3, y3). Prove que do as coordenadas do centro do círculo inscrito no triângulo ABC são dadas pelas expressões:   ,   onde a, b e c são os comprimentos dos lados do triângulo, opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. (Sugestão dos professores Wilson Massaro, Orlândia — SP e Dermeval C. Neto,  Fortaleza — CE) 11. Sejam a, b, c números reais positivos. Prove que   12. Um trem atravessa urna ponte de 171 m em 27 segundos. Determine a velocidade e o comprimento do comboio se o tempo de passar um pedestre, que anda em sentido contrário, com a velocidade de 1 m/s, é de 9 segundos. (KVANT, Moscou)   Soluções e Sugestões devem ser enviadas para:   PROBLEMAS   Departamento de Matemática Universidade Federal de Viçosa 36570 — VIÇOSA — MG          ...e Probleminhas   1. Na Inglaterra um garoto escreve ao pai a seguinte carta:   Quanto dinheiro (money) ele pediu ao pai’? (Substitua cada letra por um algarismo, letras diferentes por algarismos diferentes) (Sugestão do Prof. Mozart Cavazza Pinto Coelho, Belo Horizonte, MG) 2. Um matemático, que viveu no século 19, quando indagado sobre o ano de seu nascimento respondeu: “Eu tinha x anos de idade no ano x2. Em que ano ele nasceu? 3. Os dias “x de março” e “2 x de abril” caem no mesmo dia da semana. Determine x. 4. Ache três números inteiros em progressão aritmética cujo produto é um número primo. 5. Os 16 fósforos abaixo formam 5 quadrados “iguais”. Desloque 2 deles de modo a obter 4 quadrados “iguais’. (Ver respostas na seção "Livros")   Solução dos problemas propostos na “Revista do Professor de         Matemática”, vol. I,  nº 1, 1982   4. Construímos dois triângulos eqüiláteros: ABE interno e BFC externo ao quadrado ABCD. Prove que os pontos D, E e F se localizam na mesma reta.  (Sug.: comece por uma figura e...) 1ª Solução (Geométrica) Considerar o desenho: Utilizamos a propriedade de que os ângulos localizados na base de um triângulo isósceles são iguais. Assim,   DEF = 75º + 60º + 45º = 180º logo os pontos D, F e E são colineares.   2ª  Solução (Analítica) Colocamos a figura num sistema de coordenadas, tal que o ponto A se localize na origem 0 do sistema e os pontos B e D nos eixos 0X e 0Y, respectivamente. (Não há perda de generalidade, se considerarmos a aresta do quadrado igual à unidade). Então a área do triângulo DEF é dada pela fórmula:   Logo os pontos D, E, F são colineares. Essencialmente, estaríamos fazendo o mesmo trabalho, se calculássemos as declividades dos segmentos DE e EF. (Resumo de diversas soluções).   5. Sejam M e N, respectivamente, os pontos médios das arestas BC e AD do quadrilátero convexo ABCD. Sejam ainda: P a intersecção dos segmentos AM e BN e Q a intersecção de CN e DM. Prove que a área do quadrilátero MPNQ é igual à soma das áreas dos triângulos ABP e CDQ. (Obs.: neste exercício, a figura também pode ajudar) 1ª Solução: Esquematicamente, teremos: Provar que:   SMPNQ =SABP + SCDQ. “RAIO X”: Note que hM é a base média do trapézio retângulo BCGE.     (1) (AN = ND = b)      (2)               (3)   (4) Substituindo, (1), (2) e (3) em (4), temos       e finalmente c.q.d. (Rubens Fernando C. Romeiro – Pindamonhangaba – SP)  2ª Solução: Fig. 1 – Traçamos a diagonal . é a mediana do triângulo BCD e  do triângulo ABD. Seja S = SABCD.   S = SBDC + SABD   Como a mediana divide o triângulo em partes equivalentes:     Fig. 2 Traçamos a diagonal . é a mediana do triângulo ABC e  do triângulo ACD.   S = SABC + SACD   Analogamente   Fig. 3   de onde (Solução dos Professores Joffre Torrens Góes Telles e Heleno da Costa Vital, Rio de Janeiro – RJ)          Observação do redator do “Setor Problemas”   É um artifício bem conhecido, que triângulos de bases e alturas iguais têm a mesma área, e que “tirando de iguais, iguais, teremos iguais”. Assim, na próxima figura, as áreas hachuradas são iguais. Este artifício, no nosso caso, não pode ser usado diretamente, pois em geral, os segmentos e  não são paralelos. Mas, se não temos segmentos paralelos, devemos faze-los! Basta fazer simetria central, no ponto N da figura. Nesta figura,   SMNC + SNB’M’= SMCD +SB’M’D (bases comuns e soma das alturas iguais) Agora “tirando de iguais, iguais, teremos iguais”, subtraindo da igualdade acima as áreas hachuradas temos que as áreas. Tomei a liberdade de acrescentar esta solução, pois não achei nenhuma parecida entre as que me foram enviadas. 6. Determine as soluções inteiras e positivas da equação x3 – y3 = 602. (Sug.: fatore x3 – y3 e     602) Solução: Como x3 – y3 = (x- y) (x2 +xy + y2) e 602 = 2 . 7 . 43, devemos resolver o sistema   x – y = A   x2 + xy + y2 = B experimentando os pares (A, B) com A < B: (1,602); (2; 301); (14, 43) e (7, 86). Somente o par (2, 301) fornece soluções inteiras, de onde temos que as soluções positivas são 11 e 9. (Solução de diversos leitores) 7. Sejam a, b, c, positivos. Prove que     Solução: Temos que (a + b – c)2 ³ 0, de onde   a2 + b2 + c2 ³ 2 bc + 2 ac – 2 ab.   Dividimos os dois lados da desigualdade pelo número positivo abc temos:   (Solução de diversos leitores)          Observações do redator:   Este exercício parece, e é muito simples. Utilizando esta mesma técnica, é possível resolver exercícios bem mais sofisticados, como o que apareceu na “American Mathematical Monthly”, de autoria de M. S. Klamkin (E 2958 pg. 498, Agosto-Setembro, 1982). 8. O produto de 3 números pares e consecutivos é 88XXXXX2, onde cada X representa um algarismo que falta. Determine estes 5 algarismos. Solução: Seja o produto dos 3 números pares consecutivos:   88 . 106 < (x – 2) x ( x + 2)  = x3 – 4x < x3   Temos:   85184000 = 4403 < 88 . 106 < 4503 = 91125000   Três números pares consecutivos podem terminar em: 0, 2, 4 2, 4, 6 4, 6, 8 6, 8, 0 e o único produto dos três que termina em 2 é 4 . 6 . 8 = 192, logo os números são 444, 446, 448 cujo produto é   88714752 Portanto os algarismos procurados são   7, 1, 4, 7, 5   (Solução apresentada por vários leitores)     Relação completa dos leitores que enviaram soluções dos problemas 1, 2 e 3 propostos no “Lançamento da Revista do Professor de Matemática”   1, 2, 3 - Alberto Hassen Raad - MG; Augusto César O. Morgado - RJ; Profano Pires de Nóbrega Neto - SP: Manuel João J. Almeida - RJ; Joffre Torrens de Góes Telles & Heleno da Costa Vital -  RJ; João Linneu do Amaral Prado - SP; Ricardo Camanho  Mastroleo - SP; Colégio Militar de Fortaleza - CE; João Francisco de Barros - SP; Luiz Antônio Ponce Alonso - SP; Herval Paccola - SP; Joy Ramos Marin - SP; Mário Gomes - RJ. 1, 2 - Wilson Massaro - SP; José Hernandes - SP; Marisa Arconcher - SP; Carlos A. C. Godoy - SP: Joaquim Machado Coutinho - RJ; Lademir Urbano - SP; Armando de O. Dias – RJ; Vincenzo Bongiovanni - SP; Antonio Aloisio Ribeiro - MG; Susi Ferreira Pozza - SP; Lícia Hardt de Amorim Leite - BA; Antonio Romano – SP; Benedito Vicente Sobrinho - SP; Oscar Luiz T. Rezende - MG; Arisleda Maria Melo de Lima – CE; Luiz Diniz de Araújo – CE. 2., 3 - Valdir Vilmar da Silva –GO. 1 - Eloísa Gomes Boscaino - SP; Dr. Antonio Dorival Campo, — SP; Marcos José Cândido Eusébio - MG; Antônio Carlos Jussim de Sousa - ES; Edison Campos - RS; Sueli Robertela - SP; Wander Braga de Sousa - RJ; Luiz Roberto Petrini - SP; José Joaquim P. Conde - MG; Almir del Grossi – SP; Plínio José Oliveira - GO; Elisa C. F. Pereira - BA; Enripedes A. Silva & Júlio César C. Martins - SP; Terezinha Lins Guedes Machado & Belarmina Soares Maranha – MG; Linzahi de Lima Nascimento – BA; Cássia Regina da Silva Neves – SP; Jorge Carlos F. da Silva - RJ; Ademir Gonçalves Rocha - PR, Luiz Cláudio Costa – MG; Omar Soares Júnior - DF; Milton de Paula Garcia - SP; Eudacilio Gomes dos Santos -PE; Aderbal Correia - AL; Nelson Morteau Filho - SP; Antonio Bussato - MG; Ismael Vicente Ferreira - DF; Lúcia Helena Mastins Fiorio - ES; Antonio Fernando Vargas — MG; WiIma Ares Lopes Rego & Mauro Lopez Rezo - RJ. 2 - Paulo Cesar R. Nobre - RJ: Frederico Heyden – SP; Hélio S. L. de Carvalho MG. 3 - Luíz Henrique de Frigueiredo - RJ. Obs.: Chegaram ainda 15 (quinze) soluções erradas.