- Descobrir a área de um triângulo. Os alunos deviam construir duas cópias de um triângulo qualquer, formar com eles uma nova figura de área conhecida. “Descoberta”: A área do triângulo é a metade da área do paralelogramo de mesma base e mesma altura.

Área do triângulo pelo método da dobradura: 1) Recortar um triângulo qualquer. 2) Marcar os pontos centrais de dois lados, traçar uma reta passando por eles, dobrar nessa linha. 3) Dobrar as pontas formando um envelope.

Fizemos os alunos observarem que obtemos sempre um retângulo (analisar cada passagem!). A área do triângulo inicial é o dobro da área desse retângulo. A base desse retângulo (b_r) é a metade da base b do triângulo, idem para sua altura h_r. Temos:

- Descobrir a área de um trapézio.

Os alunos sugeriam 3 processos. Trabalharam em grupos, para chegar a uma fórmula simplificada. Tivemos:

a)   Decomposição do trapézio em um retângulo e 2 triângulos:

b)   Decomposição do trapézio em 2 triângulos:

c)      Juntar 2 trapézios iguais formando um paralelogramo:

A tônica de jogos e conclusões fáceis diminuiu quando foi levantadas a questão de segmentos com medidas não racionais. Podia ser ou não? Afinal, que números existiam que não eram da forma p/q, p e q tirados dos inteiros, q não sendo nulo? Lembramos então que os números, que são deste tipo, postos na forma decimal, se reduzem sempre a decimais finitas ou periódicas. Portanto, os números decimais não finitos e não periódicos não se reduzem à forma acima, e são os famosos números irracionais. Os alunos descobriram-nos e fizeram inúmeros exemplos dos mesmos:

± 0,010010001...

± 0,020020002...

± 0,030030003...

± 1,20220222022220...

O número , calculado com 9 casas decimais, é ... Ainda poderia ser um racional (com período de pelo menos 9 algarismos), mas já dá para suspeitar que se trata de um irracional. E se imaginássemos que fosse um racional? Mostramos então, no curso, que chegaríamos a um absurdo. Isto resolveu nossa dúvida anterior:  é mesmo um irracional, isto é, não é da forma p/q, e tem portanto uma representação decimal infinita e sem período.

Voltando às figuras cujos lados têm como medidas números irracionais:

Um quadrado com lado dm terá também área ?

É evidente que nossos instrumentos de medida só poderão aquilatar mais ou menos dm. Este é um número racional muito próximo de , é uma aproximação racional por falta do número . Poderemos tomar aproximações racionais ainda melhores: 1,414 ou 1,4142, e quadrados com esses lados se aproximam cada vez mais do quadrado com lado .

E suas áreas: (1,41)², (1,414)² ou (1,4142)² se aproximam cada vez mais do valor . E assim trabalhando com aproximações racionais, podemos ver que as fórmulas das áreas da figuras planas ainda são válidas, mesmo quando seus lados têm, por medidas números irracionais.

Neste ponto demos a fórmula da área do círculo, pelo livro Matemática Aplicada, de Trotta – Imenes – Jakubovic (volume 1). O livro mostra que os números 3,1r²; 3,14r²; 3,141r²;3,1416r², estão cada vez mais próximos da área do círculo de raio r. A dedução feita encaixou-se muito bem a esta altura do curso.

Nesta etapa, o Laboratório apresentava-se com inúmeros cartazes, feitos pelos alunos, justificando propriedades de figuras planas e de áreas, bem como conjuntos numéricos, modelos de dobraduras, etc.

Houve uma parte inicial de trabalho concreto: construção e reconhecimento dos prismas, pirâmides, cilindros e cones. Nesta fase foram salientadas as características especiais do cubo e do tetraedro: todas as faces são polígonos regulares e iguais entre si; todo vértice do sólido é ponto de encontro de um mesmo número de faces. Trata-se de sólidos platônicos e os alunos foram motivados a procurar essas características em outros poliedros.

Na exploração de volumes, seguimos novamente o livro Matemático Aplicada, desta vez o volume 3. fizemos experiências de imersão de sólidos análogas às de Arquimedes, modelos análogos aos de Cavalieri, que nos auxiliaram depois na dedução dos volumes dos diferentes sólidos. Remetemos o leitor ao rico capítulo “O volume de um sólido”, do livro acima.

Os alunos enriqueceram nosso Laboratório com copos e barras de materiais distintos e mesmas dimensões, para imersão de sólidos, recipientes de bases equivalentes e alturas iguais para comparar capacidades, minibolinhas de isopor ou milho de pipoca para enche-las e comprovar as relações entre os volumes.

Todas as fórmulas usuais para volumes foram inferidas e deduzidas: prismas, cilindros, pirâmides, cones, esfera.

Também foi dada a área total desses sólidos, algumas vezes recobrindo-os com papel quadriculado, retirando, comparando as unidades de área aferidas com resultados de raciocínios matemáticos.

Um dos problemas propostos foi o do gomo: Se uma esfera for dividida em 12 gomos absolutamente iguais, qual será a área total externa de cada gomo? (Não conte a seus alunos, não imagine que eles têm o mesmo poder visual espacial que você tem – dê-lhes o ensejo de fazerem um rudimentar modelo concreto, e contenha sua impaciência, esperando que eles cheguem por si ao resultado. O entusiasmo e a surpresa que demonstrarão valem a experiência).