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O Professor Loomis classifica as demonstrações do Teorema de Pitágoras em basicamente dois tipos: provas “algébricas” (baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos) e provas “geométricas” (baseadas em comparações de áreas). Ele se dá ao trabalho de observar que não é possível provar o Teorema de Pitágoras com argumentos trigonométricos porque a igualdade fundamental da Trigonometria, cos2x + sen2x = 1, já é um caso particular daquele teorema. Como sabemos, o enunciado do Teorema de Pitágoras é o seguinte: “A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos”. Se a, b são as medidas dos catetos e c é a medida da hipotenusa, o enunciado acima equivale a afirmar que a2 + b2 = c2 . Documentos históricos mostram que os egípcios e os babilônios muito antes dos gregos conheciam casos particulares desse teorema, expressos em relações como
O fato de que o triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo era (e ainda é) útil aos agrimensores. Há também um manuscrito chinês, datando de mais de mil anos antes de Cristo, onde se encontra a seguinte afirmação: “Tome o quadrado do primeiro lado e o quadrado do segundo e os some; a raiz quadrada dessa soma é a hipotenusa”. Outros documentos antigos mostram que na Índia, bem antes da era Cristã, sabia-se que os triângulos de lados 3, 4 5, ou 5, 12, 13, ou 12, 35, 37 são retângulos. O que parece certo, todavia, é que nenhum desses povos sabia demonstrar o teorema. Tudo indica que Pitágoras foi o primeiro a prová-lo. (Ou alguém da sua Escola o fez, o que dá no mesmo, pois o conhecimento científico naquele grupo era propriedade comum.)
Qual foi a demonstração dada por Pitágoras? Não se sabe ao certo, pois ele não deixou trabalhos escritos. A maioria dos historiadores acredita que foi uma demonstração do tipo “geométrico”, isto é, baseada na comparação de áreas. Não foi a que se encontra nos “Elementos” de Euclides, e que é ainda hoje muito encontrada nos livros de Geometria, pois tal demonstração parece ter sido concebida pelo próprio Euclides. A demonstração de Pitágoras pode muito bem ter sido a que decorre das figuras abaixo:
Do quadrado que tem a + b como lado, retiremos 4 triângulos iguais ao dado. Se fizermos isto como na figura à esquerda, obteremos um quadrado de lado c. Mas se a mesma operação for feita como na figura à direita, restarão dois quadrados, de lados a e b respectivamente. Logo, a área do quadrado de lado c é a soma das áreas dos quadrados cujos lados medem a e b. Esta é, provavelmente, a mais bela demonstração do Teorema de Pitágoras. Entretanto, no livro de Loomis ela aparece sem maior destaque, como variante de uma das provas dadas, não sendo sequer contada entre as 370 numeradas. Apresentamos a seguir algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras que têm algum interesse especial, por um motivo ou por outro. As 4 primeiras constam da lista do Professor Loomis.
É também a mais conhecida. Baseia-se na seguinte conseqüência da semelhança de triângulos retângulos: “Num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela”. Assim se m e n são respectivamente as projeções dos catetos a e b sobre a hipotenusa c, temos a2 = mc, b2 = nc, enquanto m + n = c. Somando, vem a2 + b2 = c2.
James Abram Garfield, presidente dos Estados Unidos durante apenas 4 meses (pois foi assassinado em 1881) era também general e também gostava de Matemática. Ele deu uma prova do Teorema de Pitágoras baseada na figura abaixo.
A
área do trapézio com bases a, b e altura a + b é igual à semi-soma
das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à
soma das áreas de 3 triângulos
O grande gênio criador da Mona Lisa também concebeu uma demonstração do Teorema de Pitágoras, que se baseia na figura abaixo. Os quadriláteros ABCD, DEFA, GFHI e GEJI são congruentes. Logo os hexágonos ABCDEF e GEJIHF têm a mesma área. Daí resulta que a área do quadrado FEJH é a soma das áreas dos quadrados ABGF e CDEG.
Na realidade, não se trata apenas de uma nova demonstração mas de uma generalização bastante interessante do Teorema de Pitágoras. Em vez de um triângulo retângulo, toma-se um triângulo arbitrário ABC; em vez de quadrados sobre os lados, tomam-se paralelogramos, sendo dois deles quaisquer, exigindo-se que o terceiro cumpra a condição de CD ser paralelo a HA, e com o mesmo comprimento.
Assim, por um lado, AHKB tem a mesma área que ABFG e por outro lado, a mesma área que BMNE. Segue-se que as áreas de BMNE e ABFG são iguais. Analogamente, são iguais as áreas de CDNM e CAIJ. Portanto, a área de BCDE é a soma das áreas de ABFG e CAIJ. O Teorema de Pitágoras é caso particular do de Papus. Basta tomar o triângulo ABC retângulo e três quadrados em lugar dos três paralelogramos.
No meu entender, entretanto, a demonstração mais inteligente do Teorema de Pitágoras não está incluída entre as 370 colecionadas pelo Professor Loomis. Ela se acha no livro “Induction and Analogy in Mathematics”, de autoria do matemático húngaro George Polya. O raciocínio de Polya se baseia na conhecida proposição, segundo a qual “as áreas de duas figuras semelhantes estão entre si como o quadrado da razão de semelhança”. Lembremos
que duas figuras F e F’ dizem-se semelhantes quando a cada ponto
A da figura F corresponde um ponto A’ em F’, chamado o seu homólogo,
de tal maneira que se A, B são pontos quaisquer de F e A’, B’ são
seus homólogos em F’ então a razão A’B’/AB é uma constante k,
chamada a razão de semelhança de F para F’. Por exemplo, dois
triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos de um deles são
congruentes aos ângulos de um deles são congruentes aos ângulos do
outro. Por outro lado, dois quadrados quaisquer, um de lado
Em vez do Teorema de Pitágoras, Polya procura provar a seguinte proposição mais geral (que, diga-se de passagem, já se acha nos “Elementos” de Euclides):
Se F, F’ e F’ são figuras semelhantes, construídas
respectivamente sobre a hipotenusa c e sobre os catetos a, b de um triângulo
retângulo então a área de F é igual à soma das áreas de F’ e F”.
O enunciado acima implica que a razão de semelhança de F’ para F” é b/a de F’ para F é c/a e de F” para F é c/b. Por simplicidade, escrevamos F em vez de “área de F”, G em vez de “área de G”, etc. Se G, G’, G” são outras figuras semelhantes construídas sobre a hipotenusa e os catetos, respectivamente, em virtude da proposição acima enunciada, teremos:
logo
De modo análogo teremos
Portanto
G/F = G’/F’ = G”/F” = a,
digamos. Escrevendo de outro modo: G =
Que
significam estas 3 últimas igualdades? Elas querem dizer que, se
conseguirmos achar 3 figuras semelhante especiais F, F’ e F”, construídas
sobre a hipotenusa e os catetos do nosso triângulo, de tal maneira que se
tenha F = F’ + F” então teremos também G = G’ + G” sejam
quais forem as figuras semelhantes G, G’ e G” construídas do
mesmo modo. Com efeito, teremos G =
Agora é só procurar as figuras especiais. Mas elas estão facilmente ao nosso alcance. Dado o triângulo retângulo ABC, tracemos a altura CD, baixada do vértice do ângulo reto C sobre a hipotenusa AB. A
figura F será o próprio triângulo ABC. Para F’ escolheremos ADC e
faremos F” = BCD. Evidentemente, F, F’ e F” são figuras
semelhantes. Mais evidentemente ainda, temos |
. F, G’ = 
. F’ e G” =
. F”.
.
F,
G’ =
. F’
e G” =
. F”,
logo G’ + G” = 
. F’
+ 
. F”
= 
(F’
+ F”) = 
. F
= G.