Resposta: nenhum dos dois, porque o corpo ¢ dos números complexos não é ordenado.

Lembremos que um conjunto X diz-se ordenado quando está definida entre seus elementos uma relação de ordem, ou seja, uma relação binária x < y, com as seguintes propriedades:

1)  Dados arbitrariamente x e y em X, ou se tem x < y, ou y < x, ou x = y, cada uma dessas possibilidades excluindo as demais (tricotomia).

2)   Se x < y e y < z então x < z (transitividade).

Posta esta definição, cabe a pergunta: o que impede alguém de ordenar o conjunto ¢ dos números complexos? Por exemplo, o que estará errado se tomarmos em ¢ a “ordem do dicionário”? Esta ordem é a seguinte: dados os números complexos w = a + bi e z = c + di quando a < c) e, naturalmente, põe-se z < w se c < a. Quando, porém, se tem a = c, apela-se para a parte imaginária, ou seja, diz-se que w < z quando b < d e z < w no caso de d < b. As propriedades 01 e 02 são facilmente verificadas para a ordem do dicionário, logo ela torna o conjunto ¢ dos números complexos um conjunto ordenado. E agora?

Não há contradição. Qualquer conjunto pode ser ordenado (de muitas maneiras). Mas a resposta acima diz que ¢ não é um corpo ordenado.

Entre os números complexos estão definidas duas operações, adição e multiplicação, as quais são comutativas, associativas e a multiplicação é distributiva relativamente à adição. Além disso, todo número complexo z possui um inverso aditivo –z, caracterizado pela igualdade –z + z  = 0. E todo complexo z ¹ 0 tem um inverso multiplicativos z ^-1, tal que zz ^-1 = 1. Por causa dessas propriedades diz-se que o conjunto ¢ dos números complexos é um corpo.

O conjunto dos números racionais e o conjunto R dos números reais também são corpos em relação às operações de adição e multiplicação usuais.

Um corpo ordenado é um corpo no qual se definiu uma relação de ordem “compatível” com as operações de adição e de multiplicação, ou seja, com as seguintes propriedades:

CO1) Se x < y então x + z < y + z para todo z no corpo;

CO2) Se x < y então xz < yz para todo z > 0 no corpo.

Por exemplo, a definição “x < y quando y – x é um número positivo” faz do corpo R dos números reais um corpo ordenado (o mesmo ocorrendo com o corpo Q dos racionais).

Por outro lado, a ordem do dicionário, que definimos acima no conjunto ¢ dos números complexos, não faz de ¢ um corpo ordenado. Com efeito, ela cumpre a condição CO1), ou seja, é compatível com a adição de números complexos, mas não cumpre a condição CO2). Para comprovar esta afirmação, observemos primeiro que, na ordem do dicionário, os números complexos maiores do que zero são os que ou têm parte real positiva ou são da forma z = 0 + bi = bi com b > 0. Em seguida, notemos que vale 2 + 3i < 3 + 2i na ordem do dicionário mas, multiplicando ambos os membros desta desigualdade pelo número complexo “positivo” 2 – 3i obtemos 13 < 12 – 5i, uma desigualdade falsa na ordem do dicionário.

A resposta que demos no início significa que NENHUMA relação de ordem entre os números complexos pode tornar ¢ um corpo ordenado. Como se prova isto? De modo simples, como conseqüência dos seguintes argumentos:

a)      Num corpo ordenado, tem-se x > 0 se, e somente se, – x < 0.

Com efeito, supondo x > 0 e somando –x a ambos os membros, obtém-se 0 > – x, ou seja, –x < 0. Reciprocamente, se –x < 0, somando x a ambos os membros vem 0 < x, ou seja, x > 0.

b)  Num corpo ordenado, o quadrado de todo elemento não nulo é positivo, isto é, x 0 implica x² > 0.

Com efeito, sendo x 0, deve-se te x > 0 ou x < 0. No primeiro caso, multiplicando ambos os membros da desigualdade x > 0 pelo elemento positivo x, obtemos x² > 0. No segundo caso, segue-se de a) que –x > 0. Pelo primeiro caso, tem-se (-x)² > 0. Mas (-x)² = x², logo x² > 0 em qualquer caso.
 

c)      Em todo corpo ordenado, 1 é positivo, logo –1 é negativo.

Com efeito, 1 é o quadrado de 1, logo 1 > 0 (por b) e daí –1 < 0 (por a)).

d)      Nenhuma relação de ordem torna o corpo ¢ dos números complexos um corpo ordenado.

Com efeito, temos –1 = i². Se ¢ fosse um corpo ordenado, o número –1 seria negativo em virtude de c) e positivo em virtude de b), uma contradição.

A noção de logaritmo quase sempre nos é apresentada, pela primeira vez, do seguinte modo: “o logaritmo de um número y na base a é o expoente x tal que a^x = y”. Segue-se a observação: “os números mais freqüentemente usados como base de um sistema de logaritmos são 10, que é a base do nosso sistema de numeração, e o número e = 2,71828182...” Isto nos deixa intrigados.

De saída, uma pergunta ingênua: esta regularidade na seqüência dos algarismos decimais deste número persiste? Não. Apenas uma coincidência no começo. Um valor mais preciso seria 
e = 2,718281828459...

Não se trata de uma fração decimal periódica. O número e é irracional, isto é, não pode ser obtido como quociente e = p/q de dois inteiros. Mais ainda: é um irracional transcendente. Isto significa que não existe um polinômio P (x) com coeficiente inteiros, que se anule para x = e.

Por que então a escolha de um número tão estranho como base de logaritmos?

Mesmo depois de aprender que  

a indagação ainda persiste: o que faz esse número tão importante? Isto é o que procurarei responder aqui.

Talvez a resposta mais concisa seja que o número “e” é importante porque é inevitável. Surge espontaneamente em várias questões básicas.

Uma das razões pelas quais a Matemática é útil às Ciências em geral está no Cálculo (Diferencial e Integral), que estuda a variação das grandezas. E um tipo de variação dos mais simples e comumente encontrados é aquele em que o crescimento (ou decrescimento) da grandeza em cada instante é proporcional ao valor da grandeza naquele instante. Este tipo de variação ocorre, por exemplo, em questões de juros, crescimento populacional (de pessoas ou bactérias), desintegração radioativa, etc. Em todos os fenômenos desta natureza, o número e aparece de modo natural e insubstituível. Vejamos um exemplo simples.

Suponhamos que eu empreste a alguém a quantia de 1 cruzeiro a juros de 100% ao ano. No final do ano, essa pessoa viria pagar-me e traria 2 cruzeiros: 1 que tomara emprestado e 1 dos juros. Isto seria justo? Não. O justo seria que eu recebesse e cruzeiros. Vejamos por que. Há um entendimento tácito nessas transações de que os juros são proporcionais ao capital emprestado e ao tempo decorrido entre o empréstimo e o pagamento. Assim, se meu cliente dinheiro mais seis meses, à taxa de 100% ao ano, logo deveria pagar-me

cruzeiros no fim do ano. Isto me daria 2,25 cruzeiros mas, mesmo assim, eu não acharia justo. Eu poderia dividir o ano num número arbitrário n de partes iguais. Transcorrido o primeiro n, segue-se que o justo e exato valor que eu deveria receber pelo meu cruzeiro emprestado

Mais geralmente, se eu empresto c cruzeiros a juros de k% ao ano, transcorridos t anos eu devo receber de volta c.e^at cruzeiros, onde a = k/100. Para maiores detalhes e outros exemplos, relativos a desintegração radioativa, crescimento populacional, etc., veja o livrinho “Logaritmos”, de minha autoria, publicado pela S.B.M.

Os logaritmos que tem base e são às vezes impropriamente chamados de “logaritmos neperianos”. Na realidade, os logaritmos originalmente introduzidos por Napier tinham por base o número a = (1 – 10^-7)⁷. Aliás, para sermos mais exatos, o verdadeiro “logaritmo neperiano” do número x era igual a 

É mais apropriado chamar logaritmos naturais aos logaritmos de base e. Euler os chamava de logaritmos hiperbólicos, pelo seguinte motivo. Consideremos a função f: R⁺ R, definida por f(x) = 1/x. Seu gráfico é um ramo de hipérbole eqüilátera. Para cada número real a > 0, seja  a faixa de hipérbole formada pelos pontos de plano cujas coordenadas (x, y) satisfazem às desigualdades 0 y 1/x   e   1 x a  (se a 1) ou   a x 1 (se a 1).

A área de  é igual ao logaritmo natural de a se for a 1 e a esse logaritmo com sinal trocado se for a 1. Em particular, o número e é a abscissa tal que tem área igual a 1. O fato de que a área da faixa de hipérbole  é igual ao logaritmo natural de a pode ser tomado como definição de logaritmo e permite desenvolver a teoria, a partir daí, de modo simples e elegante. Esta abordagem é adotada em nosso livro acima citado.

“O logaritmo hiperbólico pode ser caracterizado pela igualdade log (1 + x) = x, para todo número infinitamente pequeno x.” Esta frase é de Euler. Evidentemente, na teoria habitual dos números reais, não há números infinitamente pequenos. O que Euler quis dizer é que log(1 + x) e x são “infinitésimos equivalentes” ou, de modo mais preciso, que

Esta igualdade só é verdadeira quando a base do sistema de logaritmos é o número e. Se tomarmos logaritmos numa base a teremos

onde c é o logaritmo natural de a. Na verdade, esta fórmula é um caso particular do fato de que a derivada da função log x é igual a c/x. Aqui tomamos log x numa base a qualquer. Se a base for e então a derivada de log x será 1/x. (No caso geral c = log_ea). Mais uma vez, vemos que a base e é mais “natural”.