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A regra de três compostas vem sendo ensinada, geralmente, de modo muito mecanizado e pouco cerebral, considerada como uma regra em si mesma, sem que lhe sejam dadas maiores justificativas ou explicações. Muitos livros e professores têm se limitado a descrever o uso dessa regra, numa espécie de receita que prescreve, inicialmente, como as flechas devem ser dispostas e, posteriormente, quais os cálculos que devem ser feitos para se chegar à resposta do problema. Ora, um problema sobre regra de três composta nada mais é do que um encadeamento de dois ou mais problemas sobre regra de três simples. Assim sendo, sugerimos que as primeiras resoluções de problemas sobre regra de três composta enfatizem esse encadeamento, ou seja, que recaiam na resolução de problemas sobre regra de três simples. Para exemplificar o que acabamos de sugerir, vamos considerar o problema a seguir e sua resolução.
Uma pessoa realizou certo trabalho de datilografia em 10 dias. Para isso, trabalhou 6 horas por dia, datilografando em média 60 letras (ou espaços) por minuto. Se outra pessoa for realizar o mesmo serviço, trabalhando 4 horas por dia e datilografando 50 letras (ou espaços) por minuto, quanto tempo levará para fazer o serviço? Esquematicamente, temos o seguinte
quadro:
Para resolver este problema, podemos de início considerar apenas a variação no número de horas trabalhadas por dia, isto é, inicialmente vamos manter o número 60, de letras datilografadas por minuto. Ficaremos então com o seguinte quadro:
No quadro acima só ocorre a variação do número de horas trabalhadas por dia, que passa de 6 para 4, e a conseqüente variação do número de dias necessários para se fazer o trabalho, que passa de 10 para y. Recaímos, portanto, num problema sobre regra de três simples e, aqui, vamos supor que as regras de três – direta e inversa já sejam do conhecimento dos alunos (com essa suposição tudo fica fácil, não?). Então, como o número de dias para a realização do trabalho é inversamente proporcional ao número de horas trabalhadas por dia, temos: Partindo do resultado que acabamos de obter e variando agora o número de letras datilografadas por minuto, que passa de 60 a 50, podemos montar o seguinte quadro:
Aqui também recaímos num problema sobre regra de três simples e, como o número de dias de trabalho é inversamente proporcional ao número de letras datilografadas por minuto, temos então que:
Chegamos assim à resposta do problema: a outra pessoa levará 18 dias para fazer o serviço. Conforme já mencionado, a nossa sugestão é no sentido de que os primeiros problemas sobre regra de três composta sejam resolvidos pelo método que acabamos de utilizar. Depois de resolver mais uns poucos problemas por este método, podemos aumentar o número de variáveis envolvidas no problema, como faremos a seguir:
Se 10 máquinas funcionando 6 horas por dia durante 60 dias produzem 90 000 peças, em quantos dias 12 dessas mesmas máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzindo 192 000 peças? ResoluçãoConsiderando inicialmente apenas a variação do número de máquinas, que passa de 10 para 12, e a conseqüente variação do número de dias de funcionamento dessas máquinas, que passa de 60 para y, temos o seguinte quadro:
Recaímos então, num problema sobre regra de três simples. Como, para produzir a mesma quantidade de peças (no caso, 90 000), o número de dias de funcionamento das máquinas é inversamente proporcional ao número dessas máquinas, temos que:
Observamos agora a variação do número de horas diárias de funcionamento das máquinas, que passa de 6 para 8, e a conseqüente variação do número de dias de funcionamento dessas máquinas, que passa de y = 50 para z, temos o seguinte quadro:
Recaímos então, num problema sobre regra de três simples. Como, para produzir a mesma quantidade de peças (no caso, 90 000), o número de dias de funcionamento das máquinas é inversamente proporcional ao número de horas diárias de funcionamento das máquinas, temos que:
Finalmente, observando a variação da quantidade de peças produzidas, que passa de 90 000 para 192 000, e a necessária variação no número de dias para produzi-las, que passa de z = 37,5 para x, temos o seguinte quadro:
Recaímos, mais uma vez, num problema sobre regra de três simples. Como a quantidade de peças produzidas é diretamente proporcional ao número de dias de funcionamento das máquinas, temos que:
E assim, de variação em variação, chegamos à resposta do problema: para satisfazer as condições exigidas, as máquinas deverão funcionar durante 80 dias.
É importante que os alunos tenham tempo para analisar a resolução anterior. Nesses comentários, certamente haverá destaque para o fato de que a cada variação no número de máquinas, no número de horas diárias de funcionamento das mesmas e na quantidade de peças a ser produzida, corresponde uma variação no número de dias de funcionamento dessas máquinas. Poderíamos então resolver o problema do modo a seguir. Nas condições iniciais eram necessários 60 dias de funcionamento das máquinas, mas a variação do número de máquinas de 10 para 12 acarreta uma mudança no número de dias de funcionamento das máquinas. Levando em conta as proporções existentes, sabemos que esse novo número de dias é obtido multiplicando-se 60 por uma das seguinte frações: 10 / 12 ou 12/10 . A opção por uma dessas frações é imediata se atentarmos para o fato de que a produção das mesmas 90000 peças com maior número de máquinas exige menor número de dias de funcionamento das máquinas. Então 60 deve ser multiplicado por 10/12, que é número menor do que 1, ou seja, o número de dias de funcionamento das máquinas passa a ser:
Efetuando os cálculos acima indicados chegamos à resposta do problema: 80 dias. Antes de prosseguir cabe esclarecer que, embora a redação (escrita) desta síntese tenha sido longa e exaustiva, o raciocínio pela contido é simples, permitindo que se chegue, quase que imediatamente, a
O problema anterior pode ser apresentado esquematicamente por meio do quadro a seguir, onde colocamos uma flecha, orientada de cima para baixo, “que atinge x”.
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Nas demais colunas
vamos colocar flechas orientadas de cima para baixo, ou de
baixo para cima, conforme a variável envolvida seja direta, ou
indiretamente, proporcional ao número de dias de funcionamento das máquinas
(supondo-se em cada análise que as demais variáveis estejam fixas).
Assim fazendo, teremos: A “regra das
flechas” que nos fornecerá o valor de x, é a seguinte: x é igual ao número
que está no “início da flecha que atinge x” (no caso é 60)
multiplicado pelas frações correspondentes a cada coluna, com os
numeradores sendo os números “atingidos pelas flechas” e com os
denominadores sendo os números onde as “flechas se iniciam”. Usando esta
regra no problema em questão, temos:
logo
x = 80 Para finalizar, gostaríamos
de observar que cabe ao professor decidir pelo ensino ou não da “regra
das flechas”. Ela não é de modo algum imprescindível, embora os
alunos devam ter algum modo prático para resolver rapidamente problemas
sobre regra de três composta. Caso o professor opte por apresentar a
“regra das flechas”, é importante que esta regra não seja vista
pelos alunos como algo mágico, como uma receita ou como uma fórmula que
dá certo sem que eles tenham a menor noção sobre os motivos pelos quais
ela funciona. Acreditamos que
a resolução do Problema 2 e a síntese da mesma, expostas neste artigo,
constituam conforme a opção do professor tanto um dos possíveis métodos
práticos para resolver problemas sobre a regra de três composta, sem uso
das flechas, como uma alternativa para se chegar à “regra das
flechas”, alternativa esta que possibilita ao aluno entender porque a
regra funciona. |
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