Conjuntos  

Uma colega de Montes Claros, MG, escreve-nos: “... sinto muita dificuldade em transmitir à criança o conceito de conjunto pois sempre vejo conceitos como; conjunto é  uma coleção de objetos, é um agrupamento de elementos, etc., mas quando vou ensinar o que é um conjunto vazio, a criança então pergunta: ‘Mas conjunto não é agrupamento, coleção?’ Aí está a minha dúvida: como transmitir estas idéias a uma criança de 10 ou 12 anos”.

R: Vamos tentar entender a dificuldade da criança. Ela aprende o significado de conjunto de exemplos:

- Conjunto das vogais da palavra “Brasil”: {a,i}

- Conjunto dos meses cujo nome começa com A: {abril, agosto}

- Conjunto dos números naturais maiores que 1 e menores que 5: {2,3,4}

E através destes exemplos, a criança associa a palavra “conjunto” com “coleção”. Nestes exemplos não há choque entre o uso corrente da palavra “conjunto”e o seu uso em Matemática.

Mas, se pedirmos o

- Conjunto dos meses cujo nome começa com B, a criança responderá “nenhum mês começa com B” e o professor quer que ela diga “o conjunto dos meses cujo nome começa com B é o conjunto vazio”.

Conjunto dos números naturais maiores que 6 é menores que 5. a criança dirá “não existem números assim” (não tem!) e o professor quer que ela diga “o conjunto dos números naturais maiores que 6 e menores que 5 é o conjunto vazio”

Parece-nos, portanto, que a criança entende as perguntas, sobre as respostas, mas encontra dificuldade em relacionar “coisas que não existam” com “conjunto de coisas que não existam” e a partir daí imaginar o conjunto vazio.

Nossa inclinação é dizer: não fale de inicio em conjunto vazio para crianças de 10 a 12 anos. A noção de conjunto vazio responde a necessidades lógicas do matemático, não da criança. Talvez, posteriormente, ao ensinar interseção de conjuntos, o conceito de conjunto vazio surja mais naturalmente.

Aliás, achamos que em nível de 1º e 2º graus fala-se demais em conjuntos.

Cremos que esta resposta atende também à pergunta do colega de Pombal, PB, que nos chegou agora às mãos , fazendo considerações análogas, incluindo as dificuldades em ensinar conjunto unitário (com um só elemento).

Gostaremos de conhecer a experiência que o colega tem tido nessa linha. Escreva-nos.

 

     O símbolo da raiz

Um colega de Aracaju, SE, pergunta-nos sobre a utilização primeira do símbolo da raiz.

R. O símbolo apareceu impresso, pela primeira vez, no livro de Álgebra Die Coos da autoria de Christoff Rudolff em 1525 porém sem índices que indicassem a natureza da raiz. O símbolo pode ter sido usado por se parecer com a forma manuscrita do r minúsculo (r de radix) ou pode ter sido uma invenção arbitrária. As raízes cúbicas e quartas eram indicadas, respectivamente por: c e . Quando Michael Stifel editou o Die Coss em 1553, ele porém usou outros  símbolos.

O símbolo criado por Rudolff não teve aceitação imediata nem mesmo na Alemanha, sua terra natal. A letra  (latus, “lado”) era muitas vezes usada. Assim 4 representava  e c5, . Por volta do século XVII o uso do símbolo de Rudolff para raiz quadrada havia se difundido bastante apesar de ainda existirem muitas variações na maneira de escrever os índices das raízes.

Em 1655, John Wallis, usou o índice quase como hoje: 3x para o nosso .

A colocação moderna do índice na abertura do sinal do radical foi sugerida por Albert Girard em 1629 mas sua utilização foi se impondo só no século XVIII.

O traço que se usa atualmente foi usado por René Descartes, em 1637, no seu “Géometrie”.

 

Referências:

“A History of Matematical Notations”- Florian Cajori

“Historical Topics for the Mathematics Classroom”- The National Council of Teachers of Matematics.

   

     Linear ou afim?  

Pergunta um leitor de Paulista, PE: “Alguns livros chamam y = ax + b de função linear e outros de função afim, reservando o nome linear para y = ax (b = 0). Quem está certo?”

R. No âmbito da Matemática Elementar tendo em vista que o gráfico da função y = ax + b é uma reta, é comum atribuir a todas funções estão o nome de linear.

Em Álgebra Linear, entretanto, para funções definidas em espaços mais gerais, exigem-se duas condições para que uma função seja linear: que ela seja aditiva e  homogênea. Uma função: 
f: V V se diz aditiva quando satisfaz à seguinte propriedade:

 

e f se diz homogênea quando satisfaz à propriedade.

           

No caso de funções f: R ® R, toda função homogênea é aditiva. Mais  precisamente, se , então, pondo f(1) = a, temos f (x) = f ( x .1) = x f (1) = ax. Portanto, as únicas funções homogêneas de R em R são as da forma f (x) = a x. E estas, como se verifica diretamente, são também aditivas, logo são lineares.

Assim sendo, se quisermos ser coerentes com a noção geral de função linear, devemos chamar de lineares as funções da forma f (x) = a x.

Ainda neste contexto mais geral, chama-se de função afim uma função “transladada” de uma linear, isto é, da forma f (x) = g (x) + cte., com g linear.

Então as funções da forma f (x) = ax + b são na realidade funções afins (que não são lineares quando b 0).

Cremos que esta ambigüidade de nomenclatura não causa confusão de vez que no 1º e 2º graus não se usa aquela segunda noção de linearidade e que os alunos ao chegarem ao estudo de Álgebra Linear não terão dificuldade em assimilar as novas denominações.