Todos sabem que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale dois ângulos retos. Este é um dos resultados centrais da Geometria Euclidiana. Ele se estende facilmente para mostrar que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é igual a n 2 vezes 2 ângulos retos. Há, porém, uma certa confusão quando se trata de considerar polígonos não convexos. A maioria dos livros elementares não considera este caso. Alguns textos utilizados em nossas escolas chegam mesmo a dizer que, se um polígono de n lados não é convexo, a soma dos seus ângulos internos pode não ser igual a n 2 retos e a soma dos seus ângulos externos pode não ser igual a 4 retos.

A dificuldade para polígonos não-convexos se concentra em dois pontos cruciais: o primeiro é a decomposição de um polígono, por meio de diagonais internas, em triângulos adjacentes e o segundo é a própria definição de ângulo externo.

Nosso objetivo aqui é esclarecer esses pontos, mostrando que todo polígono de n lados, convexo ou não, decompõe-se, mediante n 3 diagonais internas, que não se cortam, em n 2 triângulos adjacentes. Portanto, a soma dos ângulos internos desse polígono é igual a   n 2 vezes dois retos e a soma dos seus ângulos externos (convenientemente definidos) é igual a 4 retos. Tudo igualzinho ao caso de polígonos convexos, exceto que agora as n 3 diagonais não são traçadas a partir do mesmo vértice do polígono.
 

Começaremos recordando o caso de um triângulo cujos ângulos internos chamaremos de , e . A partir de agora, a letra R significará sempre um ângulo reto.

Esta é a demonstração que os livros trazem e que nós costumamos repetir em classe. Dentro do princípio de que sempre vale a pena, para quebrar a monotonia e arejar as idéias, olhar para as coisas fundamentais sob vários ângulos (sem trocadilho), vejamos duas outras demonstrações deste fato.

Mostremos, por exemplo, como a fórmula + + = 2R decorre de um caso particular.

Suponhamos, então, que o triângulo seja retângulo.   Seus ângulos são   , e R.   Duas cópias   juntas   deste   triângulo   formam um retângulo.  (Com efeito,   AB   é paralelo a   CA'   porque os ângulos alternos internos são iguais a  .   Como   AC   é perpendicular a AB , segue-se que AC e A'C são perpendiculares e analogamente,  AB e A'B também são perpendiculares.) Logo + = R  e, daí, + + R = 2R.

2. Um caso particular significativo.

O caso geral reduz-se a este, baixando-se a altura sobre o maior lado. (Essa altura cai sempre no interior do triângulo.) Isto decompõe o triângulo arbitrário em dois triângulos retângulos.  Usando o caso particular já provado, e observando que =  ' + ", temos

3. O caso geral resulta do particular.
                             

Outra maneira de provar a fórmula + + R = 2R consiste em considerar primeiro os ângulos externos a, b e c do triângulo dado e mostrar que   a + b + c = 4R.  Como   = 2R a,   = 2R b e = 2R c, ter-se-á então

4. A soma dos ângulos externos.

A demonstração de que a + b + c = 4R se faz fixando um ponto qualquer e, a partir dele, traçando semi-retas paralelas aos três lados do triângulo. Elas determinam 3 ângulos iguais a a, b e c os quais, juntos, dão uma volta completa no plano, logo  a + b + c = 4R.

Nesta última demonstração, há um cuidado a tomar. Para cada lado do triângulo, há duas semi-retas (opostas) partindo do ponto pré-fixado e paralelas a esse lado. Se trocarmos uma delas por sua oposta não teremos mais 3 ângulos iguais a a, b e c. Para escolher as semi-retas certas, dá-se uma volta ao longo do triângulo, marcando com setas o sentido do percurso (figura acima), e tomam-se as semi-retas que correspondem ao sentido de cada seta.

Em seguida, consideremos a soma dos ângulos internos de um polígono com n lados. Se ele é convexo, não há dificuldade. A partir de um vértice qualquer, traçamos n 3 diagonais que decompõem o polígono dado em n 2 triângulos justapostos, cuja soma dos ângulos internos é (n 2) x 2R. Esta é, portanto, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n  lados.

5. Diagonais a partir de um vértice num polígono convexo.	6.    Neste pentágono não-convexo uma diagonal partindo do vértice A é externa e a outra corta um lado do pentágono.

Caso o polígono não seja convexo, a situação requer uma análise mais cuidadosa. Já não podemos mais traçar todas as diagonais a partir de um vértice qualquer, pois algumas delas podem ser externas ou podem cortar outros lados do polígono.

Inicialmente, esclareçamos que a palavra polígono significará sempre polígono simples, isto é, uma linha poligonal fechada que pode ser inteiramente percorrida sem que se passe mais de uma vez por qualquer dos seus pontos. Algumas vezes, polígono significará também a porção do plano limitada por essa poligonal.

Chama-se diagonal a todo segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de um polígono.

Mostraremos agora que, mesmo não sendo convexo, qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos adjacentes por meio de diagonais convenientes. O teorema a seguir, que exprime este fato, raramente é demonstrado, embora não seja tão difícil assim.

Teorema 1.

Traçando-se diagonais internas que não se cortam, pode-se decompor qualquer polígono em triângulos justapostos.

Demonstração:
Supondo, por absurdo, que o teorema não seja verdadeiro, podemos achar um polígono P, com n lados, o qual não pode ser decomposto em triângulos na forma estipulada pelo enunciado. Escolhemos P de modo que o número n seja o menor possível. Tomamos uma reta r que não corte P. Chamamos de B o vértice de P situado à menor distância de r. (A reta r intervém nesta demonstração apenas para detectar um vértice "saliente" do polígono.) Sejam A e C os vértices adjacentes a B. Há dois casos possíveis:

Primeiro caso: A, B e C são os únicos vértices do polígono P contidos no triângulo ABC.

7. B é um vértice saliente. Como o triângulo ABC não contém nenhum outro vértice de P além de A, B e C, a decomposição de P em triângulos começa traçando-se AC.