— Um colega de Fortaleza, CE, nos enviou dois problemas relativos ao tetraedro tri-retângulo.

Problema1. Seja O ABC um tetraedro tri-retângulo em O com OA = a, OB = b, OC = c e

RPM: Observemos o triângulo retângulo da figura ao lado. Que relações existem com os elementos assinalados? O teorema de Pitágoras e a relação bc = ah são bem conhecidas. Repare entretanto que uma terceira relação decorre destas duas:

0 problema em questão é a versão tridimensional desta relação.

Na figura ao lado vemos o tetraedro O ABC   nas condições do enunciado. O ponto  H   é a projeção do vértice  O  sobre o plano   ABC   e a reta   AH  encontra   BC  em   D.   Vamos provar que OD  é perpendicular a  BC. OA    é perpendicular ao plano   OBC, portanto,   OA   é ortogonal a   BC. OH    é perpendicular ao plano    ABC, portanto,  OH   é ortogonal a   BC. Se    BC   é ortogonal a duas retas concorrentes, então   BC   é perpendicular ao plano definido por elas, ou seja,   BC  é perpendicular ao plano  OAD. Logo,   BC  é perpendicular a  OD.

Problema 2. E dado um ponto P  no interior de um triedro tri-retângulo. Como devemos construir um plano que passe por  P  e que determine um tetraedro de volume mínimo?

RPM: Vamos agora usar a Geometria Analítica. Seja então dado   P = (x₀, y₀, z₀) onde que corta os eixos nos pontos A = (a,0,0), B = (0,b,0) e C = (0,0, c),   sendo  a, b e c    positivos para satisfazer o enunciado do nosso problema. O ponto P pertence a esse plano, logo,

então que, se o volume deve ser mínimo, o produto   II  será máximo.   Porém, como a soma dos três fatores é constante (relação (*)), o produto será máximo quando os três fatores forem três arestas do tetraedro devem medir:   a = 3x₀     b = 3y₀    e     c = 3z₀.

- Um colega de Recife, PE, nos pergunta:
Como calcular o produto

Como   /65  e   /65   são suplementares,

Um colega de Pirassununga, SP, nos pergunta:

Em um triângulo, os lados de comprimentos m e n opõem-se a ângulos de 60° e 40°, respectivamente. Qual c o comprimento da bissetriz interna relativa ao maior ângulo?

RPM: O ângulo A do triângulo vale 180° 60° 40° = 80° e é o maior. O triângulo ADC onde D é o pé da bissetriz, é isósceles; logo, AD = DC. Os triângulos ABD e CDA são semelhantes por terem os ângulos iguais. Daí,

- Um colega de Belo Horizonte, MG, nos pergunta:

Em um triângulo retângulo, os lados formam uma progressão aritmética crescente de razão r. Calcule, em função de r, os raios dos círculos inscrito e circunscrito ao triângulo.

RPM: Chamando o maior cateto de  x,  os lados do triângulo serão  x r, x, x + r e, pelo teorema de Pitágoras:

Os lados são, portanto,  3r, 4r e 5r.

O raio do círculo circunscrito a um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa; logo, o raio do círculo circunscrito é   Rc = 5r/2.

O raio do círculo inscrito em um triângulo qualquer é   R₁ = S / p,   onde   S é a área e   p  o semiperímetro do triângulo. No caso temos,