A revista soviética de Matemática e Ciência Kvant organiza todo ano, na primavera e no outono, um torneio de Matemática denominado Torneio das Cidades. Há quatro provas distintas:

a)    8.ª série do 1.° grau e 1.ª série do 2.° grau, nível iniciante,

b)    8.ª série do 1.° grau e 1.ª série do 2.° grau, nível A,

c)     2.ª e 3.ª séries do 2.° grau, nível iniciante,

d)    2.ª e 3.ª séries do 2.° grau, nível A.

Convidamos os professores que queiram participar da. organização em cidades brasileiras desse torneio a escrever para

Prof. A. C. Morgado
Rua Senador Vergueiro, 167 , ap. 1001
22230 Rio de Janeiro, RJ

Abaixo estão as questões das provas a, b, e c, do outono (28 de outubro) de 1990, do 12.° Torneio das Cidades. Convidamos os leitores a mandarem suas soluções para o professor Morgado no endereço logo acima (NÃO envie essas soluções para a RPM). No próximo número publicaremos as melhores soluções.

1.        Dois números positivos são dados. Prove que, se sua soma é menor que o seu produto, então sua soma é maior que 4.

2.        Os vértices de um triângulo equilátero pertencem aos lados AB, CD e EF de um hexágono regular ABCDEF.  Prove que os dois polígonos têm o mesmo centro.

3.        Ache 10 números naturais distintos tais que cada um deles seja divisor da sua soma.

4.        Um tabuleiro quadrado de dimensões   100 x 100   é dividido em   10000   quadrados de lado unitário. Um dos quadrados é jogado fora. É possível cobrir o que sobrou no tabuleiro com triângulos retângulos isósceles de hipotenusa 2, do modo que suas hipotenusas fiquem sobre os lados dos quadrados e seus catetos sobre as diagonais dos quadrados? Os triângulos devem ficar inteiramente contidos no tabuleiro e um triângulo não deve intersectar outro.

 

Prova b)

1.

2.        Um semicírculo      com extremidades   A e B   é dado.   Tomado um ponto C   arbitrário de   ,   porém distinto.de   A   e de   B,  constroem-se quadrados sobre os lados   AC   e   BC   do triângulo   ABC,   exteriormente ao triângulo.
Determine o lugar geométrico do ponto médio do segmento que liga os centros dos quadrados quando  C  descreve  .

3.        Um tabuleiro   8 x 8   só tem casas brancas.   É permitido escolher retângulos formados por 3 casas (l x l) adjacentes e pintá-los inteiramente de preto ou inteiramente de branco.   E possível, por esse processo, pintar inteiramente o tabuleiro de preto?

4.        Os lados  AB, BC, CD e DA   do quadrilátero  ABCD  são respectivamente iguais aos lados A'B', B'C',C'D'eD'A'  do quadrilátero A'B'C'D'.   Além disso,   AB   é paralelo a  CD   e B'C   é paralelo a   D'A'.    Prove que ambos os quadriláteros são paralelogramos.

5.        A seqüência  {x_n}satisfaz   x_{n + 1} = Ix_nI x_{n - 1}  para todo   n > 1.    Prove que a seqüência é periódica com período 9, isto é, para todo   n > 1   tem-se x_{n + 9=} x_n.

6.      Tem-se  n cartas diferentes, em fila. Queremos inverter a ordem dessas cartas. O único movimento permitido é retirar um grupo de cartas e colocá-las em outros lugares sem alterar a ordem das cartas dentro desse grupo.

a)   Prove que, para   n = 9,   isso pode ser feito em 5 movimentos.

b)   Prove que, para  n = 52,   isso pode ser feito em 27 movimentos, mas não em 17 ou 26 movimentos.

1.         Escrevem-se os inteiros de   1 a n²   nas casas de um tabuleiro n x n, em ordem arbitrária.  Prove que há duas casas adjacentes (isto é, que possuem um lado ou um vértice comum) tais que a diferença entre os números nelas escritos não é menor que   n + 1.

2.         O plano é dividido por três conjuntos infinitos de paralelas eqüidistantes em triângulos eqüiláteros iguais. Seja  M  o conjunto dos vértices desses triângulos. Sejam   A e B  dois vértices de um mesmo triângulo. Considere as rotações de 120°   em torno dos elementos de   M. É possível  mover   A   para   B   através de uma seqüência de tais rotações?

3.         Há dois relógios idênticos na parede.  Um marca a hora em Moscou e outro a hora local. A mínima e a máxima distância entre as extremidades dos ponteiros das horas são respectivamente   m e M.    Calcule a distância entre os centros dos relógios.

4.     Parte-se de um cubo unitário, escolhe-se um vértice e cola-se um cubo unitário em cada uma das faces que se intersectam naquele vértice. É possível, repetindo esse processo, formar um paralelepípedo com dimensões   11 x 12 x 13?

Será realizada em setembro de 1991. Haverá simultaneamente uma Olimpíada Júnior para alunos que só completem 16 anos a partir de 01-01-1992.

 

Será realizada em Rosário, Argentina, em 1991, com a participação de Argentina, Brasil, Chile e Uruguai.

 

Será realizada na Suécia, em julho de 1991. Uma equipe brasileira participará do evento.

 

Esta seção recebeu uma carta do professor Marinaldo Felipe da Silva do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Rondônia, comunicando a realização, em meados de setembro, da 1.ª Olimpíada Rondoniense de Matemática e pedindo à RPM que ajude na sua divulgação.

Desejamos ao prezado colega muito sucesso no empreendimento.