86.   Determine os valores do parâmetro  a   de modo que a equação

x² + 4x 2 Ix aI + 2 a = 0

admita duas raízes reais distintas.

(Enviado por Manuel Pereira. G. Neto, Tabapuá, CE.)

87.    Determine todas as seqüências finitas de números naturais consecutivos cuja soma seja igual a 1 000.

88.    Dado um triângulo ABC, considere  ₁ sua circunferência circunscrita e ₂ sua circunferência inscrita.  Por um ponto R ₁,  trace as tangentes a  ₂  que encontram   ₁  em   S e T.  Mostre que ₂ é a circunferência inscrita do triângulo RST.  
(Enviado por Claudio Arconcher, Jundiaí, SP.)

89.  Determine os números naturais   a, b e c   tais que

(Enviado por Tsunediro Takcafiashi, Ribeirão Pires, SP.)
 

1.     No dia do Ano-Novo de 1953, A e B se conheceram numa viagem de trem. No decorrer da conversa, falaram da idade de cada um. Disse   A:   Se você somar os 4 algarismos do ano em que nasci, você saberá a minha idade. Após pensar um pouco, B cumprimentou A pelo seu aniversário, a) Como D descobriu o aniversário de   A? b) Em que ano nasceu   A?

2.        Uma vez, estando numa estação, vi chegar um trem que levou 9 segundos passando por mim.   Ele levou 21 segundos para atravessar a estação, que tinha 80 metros de comprimento. Qual era o comprimento do trem?

3.        Coloque num tabuleiro 4 x 4 seis algarismos 9, três algarismos 8, dois algarismos 6, quatro algarismos 5 e um algarismo 2, de modo que sejam iguais entre si: as somas nas linhas horizontais, as somas nas linhas verticais, as somas ao longo de cada uma das diagonais, a soma nos quatro cantos, a soma no quadrado central e as somas nos quadrados   2x2   que têm um vértice coincidindo com um vértice do tabuleiro.
[Tirado da revista Todos os Jogos (seção Quebra Cuca), publicados e/n 1978 pela Editora Abril.]

(Ver respostas na seção "Será que foi assim")
 

78. a) Mostre, através de um exemplo, que existem progressões aritméticas de termos inteiros positivos que não contêm nenhum termo que seja um quadrado perfeito.

b) Mostre que, se uma progressão aritmética de termos inteiros positivos contiver um  quadrado perfeito, ela terá necessariamente infinitos  quadrados perfeitos.

c)  As afirmações a) e b) são verdadeiras para qualquer potência n-ésima, n>2 ?

.Solução:

a)          Como nenhum quadrado perfeito termina em 7, a PA. (7, 17, 27, 37, . . . ) não tem nenhum termo que seja quadrado perfeito.

b)    Suponhamos que uma P.A. de termos inteiros positivos contenha um quadrado perfeito. Sem perda de generalidade, podemos supor que   a₁ = x² , onde   x   é inteiro.  Se   r  for a razão da progressão, é fácil ver que todos os termos da sequência  (x+r)²   , (x+2r)²   , . .. , (x+kr)²   , . . .   são termos da P.A. De fato, (x+kr)²  = x²  + 2krx + k² r²  = a₁+nr

c) A parte b) pode ser generalizada facilmente para potências n-ésimas, n > 2. De fato, se a₁=xⁿ,  com x inteiro, (x + kr)ⁿ  é da forma  a₁+ um múltiplo inteiro de  r.

Com relação à parte a), chega a ser surpreendente que um único exemplo seja suficiente para todas as potências n-ésimas, n 2.  De fato, a P.A. (2, 6, 10, 14, ...) não contém nenhuma potência n-ésima, para  n 2,  pois, se  xⁿ fosse um termo desta P.A., teríamos  xⁿ = 2 + 4k. Isto nos diria que  xⁿ  é par e, portanto,  x  é par. Sendo  x  par e  n 2,  xⁿ  seria um múltiplo de 4, isto é,  xⁿ = 4m. Teríamos  4m = 2 + 4k, o que é impossível já que 4 não é um divisor de 2 .

79. Dada uma seqüência finita de números inteiros positivos, a₁, a₂,... ,a_n, não necessariamente distintos, mostre que existe ao menos uma subseqüência cuja soma dos termos seja divisível por   n.

Solução

Observemos inicialmente que o resto da divisão de um número inteiro positivo k por n é, necessariamente, um elemento do conjunto {0, 1,2, ... ,n 1}. Vamos considerar, em seguida, a seqüência das somas parciais dos termos da seqüência dada:

Se uma dessas somas for divisível por n, a nossa tarefa estará terminada. Caso nenhuma delas seja divisível por n, podemos afirmar que os restos das divisões de b₁, b₂, ...,b_n por n são elementos do conjunto {1, 2, ..., n 1}. Como a seqüência tem n elementos e esse conjunto tem apenas n 1, conclui-se que existem pelo menos 2 elementos da sequência, b_j e b_k, que, ao serem divididos por n,  deixam o mesmo resto  r   (1 r n 1). Teremos então, supondo j<k:

onde m e l são inteiros positivos, m > l. Nessas condições, segue-se que b_j b_k = (m l) ^.n é múltiplo de n e, portanto, a soma dos termos da subseqüência  {a_{J + 1}, ^..., a_k} é divisível por   n .

(Resumo das soluções enviadas por vários leitores.)

80. No interior de um triângulo retângulo ABC tomos três círculos, cada um deles tangente a dois lados do triângulo e aos outros dois círculos. Sabendo-se que os dois círculos tangentes à hipotenusa têm o mesmo raio R, determine o raio do terceiro círculo.

Solução

Logo         

(Resumo das soluções enviadas pelos leitores Paulo Roberto Mendonça, SP, e Miguel K. Hírata, SP.)

81. São dados 2 barris com capacidades iguais a 100 litros. Um deles está vazio e o outro cheio com uma mistura homogênea de 70 litros de álcool e 30 litros de água. Inicia-se urna seqüência de transferências do líquido de um barril para outro. Admita que em cada transferência ocorra uma perda de 1% do volume, perda esta que é reposta com água. Após n (n 1) transferências, determine o volume A_n de água na mistura.

Solução

E mais fácil trabalhar com o volume de álcool que não sofre alteração no momento da reposição. Imediatamente após cada transferência, perdemos 1% do volume de cada componente, pois a mistura é homogênea. Assim, sendo B_n a quantidade de álcool na mistura após  n  transferências, temos:

Como   B₀ = 70,   então,   B_n = 70 ^. 0,99ⁿ .

Logo, o volume da água após   n   transferências e reposições,   A_n ,  é dado por

A_n = 100 B_n = 100 70 ^. 0,99ⁿ .

Antes da n-ésima reposição, haverá 1 litro a menos de água na mistura, isto é, 99 70 ^. 0,99ⁿ .(Solução enviada por Roberto F. Silvestre, MG.)