Oscar Guelli
São Paulo, SP

É possível dois números serem amigos?

Os matemáticos da Antiguidade diziam que 220 e 284 são amigos. Veja por quê.

Vamos determinar todos os divisores de 220 e todos os divisores de 284:

A soma dos divisores de 220, excetuado o próprio 220, é

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

e a soma dos divisores de 284, excetuado o próprio 284,   é   

1+ 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Os matemáticos da Antiguidade e da Idade Média diziam que 220 e 284 são números amigos pois cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro.

Em 1636, o matemático francês Pière de Fermat (1601 - 1665) descobriu um outro par de números amigos: 17296 e 18 416 (v. NR no final deste artigo).

Em 1747, Leonard Euler (1707-1783) obteve 30 pares de números amigos e, posteriormente, obteve mais de 30 outros pares, como por exemplo (5020, 5564) , (6232, 6368) , (10 744, 10856) , (66928, 66 992) ,  (142310, 168 730) , (176272, 180848).

No ano de 1866, um jovem italiano de 16 anos, chamado Nicolò Paganini (não é o famoso violinista e compositor), descobriu um par que havia escapado a Euler e a Fermat: 1184 e 1210.

Até hoje, não se sabe se existem infinitos pares de números amigos, nem se existem números amigos primos entre si. São problemas fáceis de enunciar mas difíceis de resolver ....

NR: Fermat, na realidade, redescobriu uma regra formulada pelo matemático árabe Abul-Hasan Thabit Ben..Korrah no século IX:

Construa, a seqüência de termo geral p_n = 3 ^. 2ⁿ 1.

Se, para um certo valor de   n,   p_n-1  e  p_n   são ambos primos e q_n = 9 ^. 2^2n-1 1   também é primo, então M = 2^n .  p_n-1 ^. p_n   e  N = 2ⁿq_n   formam um par de números amigos.

A justificativa da regra é a seguinte:

e o par   M,  N   é um par de números amigos .

Assim,

-     para   n = 2  :     p₁ = 5,    p₂ = 11,    q₂ = 71   são primos -
obtemos o par  M = 220,  N = 284;

-     para   n = 4 :    p₃ = 23,   p₃ = 47,   q₄ = 1151   são primos -
obtemos o par  M = 17296,   N = 18416.

O matemático francês René Descartes (1596-1650) redescobriu a mesma regra em 1638 e obteve o terceiro par de números amigos:

-   para   n = 7 :   p₆ = 191,  p₇ = 383,   q₇ = 73 727 e
M = 9363584,  N = 9437056.

Referências Bibliográficas:

[l] Ore, Oystein.   An introduction to number theory and its history.   New York, 1948.

[2] Sierpinski, Waclaw. Elementary theory of numbers. Warszawa, 1964.