Este artigo ilustra como um problema relativamente complexo do mundo real pode ser facilmente solucionado por meio de fatos simples da Geometria, Trigonometria e Funções.

Tudo começou quando observei que, para um mesmo intervalo de tempo, o volume total de chuva que incide no pára-brisa de um automóvel é proporcional à sua velocidade. A constatação deste fato ficou bastante transparente, uma vez que me deslocava em um automóvel equipado com um regulador de tempo entre oscilações do limpador de pára-brisa.

Resolvi formular matematicamente o objeto desta observação, na tentativa de ratificar certas conclusões empíricas, a partir da análise das expressões obtidas.

Para modelagem da situação, representemos o pára-brisa por uma área plana e fechada B, cujo plano forma um ângulo a com a horizontal e que se desloca horizontalmente a uma velocidade constante v_s por um intervalo de tempo com amplitude T. Enquanto isto, na região de deslocamento e no intervalo considerado, ocorre uma chuva contínua, que se precipita verticalmente a uma velocidade constante  v_c (fig. 1).

Da análise do modelo, deseja-se o volume efetivo de chuva que incide no pára-brisa do automóvel, durante o intervalo de tempo considerado, bem como a influência da velocidade do automóvel neste volume.

Observe que, em situações reais, nem a chuva nem o pára-brisa possuem as características ideais descritas no modelo. Em geral, os pára-brisas não são planos e as chuvas não incidem de maneira contínua, normal e a velocidade constante.

Por razões didáticas, resolveremos o problema em duas fases:

1.ª  fase Nesta fase, determinaremos em t = 0 o lugar geométrico de todas as gotas de chuva que tocarão a superfície B, em algum instante T do intervalo (0, T].

Seja O um ponto fixo qualquer da superfície B, que tomaremos como origem de um sistema de coordenadas cartesianas, coerentes com as direções vertical e horizontal do lugar (fig. 2).

É claro que O será ponto futuro de uma infinidade de gotas do lugar geométrico, e para que, em XOY, uma gota G = (x,y) goze desta propriedade, é necessário e suficiente que o tempo t_c gasto pela gota G para percorrer verticalmente a distância y seja igual ao tempo t_s gasto pelo ponto O para percorrer horizontalmente a distância  x.   E evidente que  0 < t_c = t_s T.   Assim,

Assim, as gotas  G = (x,y)  com ponto futuro O, em algum instante  t (0,T],  se situam, em  t=0, sobre o segmento OO' da semi-reta de origem O  e declividade v_c / v_s  (fig. 3).

O comprimento d do segmento OO' é facilmente determinado, observando-se que O' é a gota que atinge o ponto O da superfície  B  em  t = T.   Assim,

Como o ponto O foi arbitrário em B, segue-se que o lugar geométrico das gotas com ponto futuro em B se constitui em um prisma oblíquo de base B e cujas arestas laterais de comprimento d são inclinadas de = arctg (v_c / v_s), em relação ao horizonte (fig.4).

2.ª fase

Esta fase tem por finalidade determinar o volume deste prisma que é, precisamente, o volume da chuva incidente no pára-brisa, durante o intervalo de tempo considerado.

A figura 5 é uma vista lateral do prisma. Nesta vista, seja M o ponto de B que está mais distante do plano horizontal, e seja M'  a gota de chuva que em   t = T  estará sobre  M  em   B.

Sendo v_r a velocidade relativa de M em relação a M'  e  v_rn  a sua componente na direção normal a B, não é difícil ver que h (altura do prisma) é a distância percorrida por um móvel que se desloca à velocidade  v_rn , em   T  unidades de tempo. Daí,

h =  Tv_{rn                                                             (3)}

Os módulos das componentes normais ao plano de  B das velocidades de  M ( v_s )  e  M'( v_c )   são, respectivamente

Como v_sn  e v_cn  têm mesma direção e sentidos opostos, o módulo de  v_rn   será

v_rn  = v_s sen + v_c cos                                            (5)

Resulta de (3) e (5) que

h = T(v_s sen + v_c cos )                                          (6)

De modo que o volume procurado é:

Vol = Bh = BT(v_s sen + v_c cos )                                   (7)

Da última expressão (7), verifica-se facilmente que a variação de Vol é diretamente proporcional a v_s isto é, para T, e v_x fixos, quanto maior a velocidade do automóvel, maior será o volume de chuva incidente no pára-brisa. Isto confirma as observações que tinha realizado anteriormente. Todavia se sobre uma superfície incide tanto mais chuva quanto maior for a sua velocidade, como explicar a sábia atitude de se correr em dias de chuva para se molhar menos?

A resposta a esta interrogação surgiu quando percebi que a equação (7) foi deduzida para um T fixo. Se, ao invés disto, tivéssemos fixado a distância D, percorrida por B a uma velocidade  v_s, teríamos T = D / v_s que, em (7), daria:

Agora, ao contrário de (7), o volume de chuva incidente sobre a superfície B é inversamente proporcional à sua velocidade de deslocamento, isto é, para D, e v_c fixos, quanto maior a velocidade da superfície, menor será o volume de chuva que lhe é incidente.

Para finalizar, convidamos o leitor a analisar o caso menos particular deste problema, em que a incidência da chuva tem uma direção qualquer  .