Muito freqüentemente, mencionamos em sala de aula a terna de números pitagóricos 3, 4, 5. Uma forma natural de introduzi-la é, após o estudo do Teorema de Pitágoras, propor à classe encontrar as medidas dos lados de um triângulo retângulo sabendo que são números inteiros e consecutivos. Podemos, em seguida, propor a generalização natural desta questão: determinar todas as ternas de números inteiros que sejam as medidas dos lados de algum triângulo retângulo. Explicamos, então, que uma terna de tais números é chamada reduzida se seus componentes não tiverem fator comum distinto da unidade.

A resposta para essa questão é dada pelo seguinte teorema:

Se p e q tomam todos valores inteiros, restritos somente pelas condições

(1)    p > q > 0 ,

(2)    p  e  q  são primos entre si,

(3)    p e q  não são ambos ímpares,

então as expressões x = p² q² ,   y = 2pq,  z = p² + q²   fornecerão todas as ternas pitagóricas reduzidas, e cada terna somente uma vez.

(Veja RPM 7, p. 49 e Episódios da História Antiga da Matemática, Asger Aaboe, SBM, p. 39.)

Normalmente encerramos a questão por aqui. Há, porém, uma curiosidade perfeitamente pertinente que podemos acrescentar, enriquecendo o assunto. Trata-se da seguinte propriedade:

Em qualquer terna, pitagórica reduzida, os números 3, 4 e 5 estão presentes.

Devemos entender que 3, 4 e 5 estão presentes como fatores dos elementos da terna, eventualmente os três números como fatores de um mesmo elemento. Por exemplo, usando o teorema mencionado anteriormente com   p = 6  e  q = 5,  obtemos a terna pitagórica reduzida  (11,60,61)  onde 3, 4 e 5 são fatores de 60.

Minha atenção foi despertada por um aluno, Frederico, que me disse ter lido tal afirmação no livro Maravilhas da Matemática do nosso Malba Tahan.

Para demonstrar a propriedade, usamos o teorema mencionado. Seja então uma terna pitagórica (p² q² ,2pq,p² + q² ), com   p e  q  naturais restritos às condições (1), (2) e (3).

-  O fator 4 sempre vai estar no elemento  2pq.

É óbvio por (3), pois um dos números,   p  ou   q,  é par.

-  Se o fator 3 não ocorrer no elemento 2pq, então ele estará em    p² q².

De fato, dividindo p e q por 3, encontraremos resto 1 ou 2, ou seja, estes números são da forma 3k + 1 ou 3k + 2. Em qualquer caso, o quadrado é da forma 3k + 1. Portanto, a diferença   p² q²   de dois números da forma 3k + 1   é divisível por 3.

-  Se o fator 5 não ocorrer no elemento  2pq,  então ele estará em   p² q²  ou em   p² + q².

De fato, dividindo p e q por 5, encontraremos para resto um dos números: 1, 2, 3 ou 4. Isto é, p e q são de uma das formas: 5k + 1,   5k + 2,   5k + 3,  ou   5k + 4. O quadrado de qualquer um desses números é da forma 5k + 1 ou  5k + 4. Assim, se   p² e  q²  forem do mesmo tipo (5k + 1 ou  5k + 4),  p² q²   será múltiplo de 5.   Caso contrário, o fator   5   estará em   p²+q^2.

Moral da história: Numa terna pitagórica não há como escapar dos números 3, 4 e 5!