Escreve-nos um colega de Bernardino de Campos, SP:

Caros colegas

Há algum tempo, um dentista, meu amigo, fez uma pergunta intrigante: Como os donos dos postos de gasolina medem a quantidade de combustível que possuem em seus depósitos enterrados? Já tinha visto um dono de posto medir a quantidade de combustível dos seus tanques com uma régua graduada, colocada verticalmente na boca do tanque enterrado. Fui até o posto, vi a régua, vi a medição, mas não consegui determinar como tal régua fora graduada.

Se o depósito enterrado for cilíndrico (a grande maioria o é):

a) existe uma régua-padrão graduada para qualquer medida de tanque (caso variem altura e raio da base)? ou,

b) para cada tanque existe uma régua graduada que acompanha o tanque?
 

Resposta de Paulo Afonso da Mata Machado* de Alfenas, MG.

Este mesmo problema foi apresentado, em classe, por um dos meus alunos. Ele contou que o dono do posto de gasolina tinha um tambor cilíndrico horizontal com uma régua que media a altura do líquido. Como, a partir desse dado, ele poderia conhecer o volume de combustível dentro do tambor?

Disse lhes: vocês multiplicam o comprimento do tanque pela área da seção transversal abaixo do nível do líquido.

____________
* Esta resposta faz parte de um artigo onde o autor conta como seus alunos chegaram aos resultados e ainda resolveram o problema mais difícil de um tanque em posição inclinada, não horizontal. O artigo finaliza com a seguinte frwe: "Quem lucrou foi o Normandinho (autor da pergunta), ou melhor, o pai dele, pois ganhou um tanque cheio, grátis. Eu também lucrei muito, pois nessa aula aprendi mais do que ensinei"

Ficou claro que a dificuldade estava em calcular a área de um segmento circular. É evidente que a área que queremos calcular é a diferença entre a área do setor AOB e a área do triângulo AOB. Para calcular a área do setor, Maria Eugenia (uma de minhas alunas) elaborou o raciocínio seguinte:

Seja a o ângulo central . Se o setor fosse o círculo todo, a área seria R². Portanto, se para o ângulo 2 a área é R², para um ângulo a qualquer, por meto de regra de três simples, chegamos a  R²/2.

O volume do líquido seria então

Parecia que o problema estava resolvido. Lembramos, então, que não é conhecido. O que se pode medir com facilidade é h. Mas, com um pouco de trigonometria, foi fácil chegar a

NR:

a)    A resposta da primeira pergunta do colega é NÃO. 0 volume do líquido no tanque depende não só de   h,  mas das dimensões do reservatório.

b)   Se você tiver apenas uma régua graduada em centímetros, as fórmulas acima permitem um rápido cálculo do volume. Por exemplo, se o tanque tiver 2 m de diâmetro e 4 m  de comprimento, suponha que foi encontrado h = 60 cm.
Ternos, então