A 12.ª Olimpíada de Matemática foi realizada em 6/10/90 em diversas cidades do Brasil. Foram premiados os seguintes estudantes:

1.° prêmio: Eduardo Laber, RJ e Elcio Decache, RJ; 2.° prêmio: Alessandro Peixoto, RJ e Fernando Migliorancia, RJ; 3.° prêmio: Carlos Eduardo Mack, RJ, Eric Guedes, RJ e Erik Camara e Silva, RJ; 4.° prêmio: Alessandro Luzes, RJ, Alessandro Tavares, SP, Antonio C. Muniz Neto, CE, Emerson Ferreira Leite, SP, Luciano Irineu de Castro Filho, CE e Rogério Kiyoshi Molato, SP.

1.   Dado um poliedro convexo com um número ímpar de faces, mostre que existe pelo menos uma face com um número par de lados.

2.    Mostre que a equação  x³ + 1990y³ = z⁴   tem infinitas soluções inteiras com
x > 0,  y > 0  e  z > 0.

3.    Considere um tetraedro inscrito em uma esfera de raio   1,   onde cada face é um triângulo de lados a, b e c.   Calcule a² + b² + c².

4.    É dado um quadrilátero convexo  ABCD.   Sejam   E, F, G  e   H   os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Determine aposição de um ponto   P   de forma que os quadriláteros   PHAE,  PEBF,  PFCG   e   PGDH   tenham a mesma área.

5. Seja

Prove que

para todo   x  onde esta expressão estiver bem definida.

1.   Numeremos as faces: 1,2, ..., F,  onde  F  é ímpar. Seja  n_i  o número de lados da face  i. Como cada aresta do poliedro é lado de exatamente duas faces, temos: 2A = n₁ + n₂ + ... +n_F.

Se todas as faces têm número ímpar de lados, a igualdade acima é um absurdo, porque o lado direito será soma de um número ímpar de números ímpares, que não pode ser par.   Assim, existe pelo menos uma face com número par de lados.

2.   Se   (x₀,  y₀,  z₀)   é solução inteira positiva de   x³ + 1990y³  =  z⁴,   então (k⁴ x₀ , k⁴ y₀ , k⁴z₀)  também é solução positiva para qualquer k  inteiro positivo, pois

Logo, se a equação possui uma solução inteira positiva, então ela possui infinitas soluções inteiras positivas. Falta apenas mostrar a existência de uma solução inteira positiva. Tentemos achar uma solução com  x = y = z.

Para  x = y = z,  a equação fica  x³ + 1990y³  =  z⁴   e  x = 1991 é solução. Portanto (k⁴ 1991, k⁴ 1991, k³ 1991) é solução para qualquer k inteiro positivo .

3.  Imaginemos o tetraedro inscrito em um paralelepípedo retângulo de dimensões  x, y e z, como na figura ao lado. A esfera circunscrita ao tetraedro é também circunscrita ao paralelepípedo. Então,

Daí,

4. Sejam I e J os pontos médios das diagonais AC e BD, como na figura. Tracemos por I e J paralelas a BD e AC, respectivamente, para obter P. Provaremos que esse é o ponto procurado, ou seja, provaremos que área de PHAE  é igual a  1/4  da área de  ABCD  que chamaremos  S.

(PHAE) = (IHAE)   porque    HE   é paralelo a   PI   e desta forma os triângulos   PHE  e  IHE  são equivalentes.

5. f ( f (0)) f (0)  pois, em caso contrário, teríamos

Esta igualdade implica que   f   seja constante e diferente de zero, o que contradiz a condição   fⁿ(0) = 0.

Temos, assim, fⁿ(x) = x para três valores distintos de x : 0,  f (0) e  f(f (0)), pois

Mas esta á uma equação do 2.° grau,  que só pode  ter  três soluções se   c' = 0,  d' a' = 0 e b' = 0.   Assim,

As questões desta Olimpíada foram publicadas na RPM 17, p. 61. A RPM recebeu as soluções dos problemas em 15 páginas manuscritas. Os leitores que desejarem uma cópia destas soluções, poderão recebê-la mediante solicitação e o envio de um cheque, em nome de "Comitê Editorial da RPM", no valor de Cr$300,00, para cobrir as despesas de xerox e correio.

Esta seção recebeu uma carta do professor Carlos Alberto Bandeira Braga comunicando que, em dezembro de 90, foi realizada, em João Pessoa, PB, a 1.ª Olimpíada Pessoense de Matemática e que este evento repetir-se-á anualmente, devido ao grande sucesso alcançado entre alunos e professores do 2.° grau.