Eduardo Wagner
Rio de Janeiro, RJ

Quando dizemos que o número m é uma média entre dois números positivos a e b (suponhamos a b), estamos afirmando que   a m b.

Há muitas maneiras de se obter uma média entre dois números dados. As duas médias mais comuns são a aritmética e a geométrica, definidas, respectivamente, por

Por exemplo, se a = 2   e  b = 8, obtemos  A = 5 e  G = 4.

A média geométrica é sempre menor que a aritmética, se os números forem diferentes. Podemos provar este fato da seguinte forma:

Há muitas aplicações elementares desse fato. Mostraremos, como primeiro exemplo, que qualquer número positivo somado a seu inverso nunca dá um resultado menor que 2.

Solução: Aplicando a desigualdade das médias aos números  x  e   l / x, obtemos

Passamos então a examinar essas médias definidas para  n números positivos  x_1, x₂, . . . , x_n .   As novas definições são:

Se todos os números forem iguais, é fácil ver que A = G. Porém, se eles não forem todos iguais, a média geométrica é sempre menor que a média aritmética, mas a demonstração, neste caso, não é tão fácil como no caso n = 2. Existem demonstrações de vários tipos, de diversos graus de sofisticação e baseadas em diferentes teorias. A mais conhecida é a demonstração de Cauchy *, que pode ser encontrada no livro Meu Professor de Matemática e outras histórias de Elon Lages Lima, p. 153, publicado pela SBM. Vamos dar aqui a demonstração imaginada por Polya **, que se baseia na desigualdade  e^x 1 + x.

Podemos justificar esta desigualdade de várias formas. Vejamos duas:

1) A função f(x) = e^x (l + x) assume o seu valor mínimo no ponto x = 0.  Observando que   f(0) m 0,   concluímos que   f(x) = e^x      (1 + x) 0   para todos os valores de   x.   Portanto,    e^x    1 + x,   ocorrendo a igualdade apenas se   x = 0.

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*   Cauchy, Augustin-Louis (1789  1857)
**   Polya, George (1888   1985)

2) Podemos definir o logaritmo de um número positivo a (In a) como sendo a área limitada pelo eixo das abs cissas, pela curva y = l /x e pelas retas verticais x = 1 e  x = a (v. p. 37). Como esta região está contida no retângulo de altura 1 e base a 1, temos, é claro, ln a a 1. Fazendo a = 1 + x, obtemos ln(1+ x) x ou e^x 1+ x, valendo a igualdade apenas se   a=1,  ou seja,   x = 0 .

Resolvida esta parte, podemos então demonstrar a desigualdade das médias para n números.

Mostraremos a seguir algumas aplicações.

Para todos os valores das variáveis  x, y, z, w ,  reais positivas, qual é o menor valor da expressão

Solução:

Logo,  E 4,  ocorrendo a igualdade se  x = y = z = w_.

Se   x, y e z   são positivos, qual é o valor mínimo de

Este exemplo será deixado como exercício para o leitor.    A resposta é 9.

A desigualdade entre as médias aritmética e geométrica tem como consequência as seguintes afirmações:

I) Se a soma de    n    números positivos for constante, então o produto será máximo quando todos os números forem iguais.

II) Se o produto de   n   números positivos for constante, então a soma será mínima quando todos os números forem iguais.

Daremos mais dois exemplos para mostrar como funciona a afirmação I).

Sendo x e y números reais positivos, determinar o máximo de   E = xy(1 x y).

Solução: Consideremos apenas os valores de x e y tais que x + y < 1 (se x + y 1, teremos 1 x y 0 e o máximo que estamos procurando é obviamente positivo).

Então, os números x, y e 1 x y são positivos e possuem soma igual a 1. Logo, o produto será máximo quando todos forem iguais ou seja,

Provar que, de todos os triângulos de mesmo perímetro, o equilátero possui a maior área.

Solução: Consideremos um triângulo de lados a, b e c com a + b + c = 2p.   A área  S  desse triângulo é dada pela fórmula de Heron,

Para poder aplicar a afirmativa I, devemos escrever

Ora, o semiperímetro   p   é constante.    Então  S   será máximo quando  (p a) (p b)(p c)  for máximo. Mas

p a + p b + p c = 3p 2p = p    (constante)

logo o produto será máximo quando

Muito há o que se falar sobre as médias. A RPM voltará ao assunto em próximos números com outras desigualdades e aplicações.