Rizio Sant'Ana
Campanha, MG

Só existem cinco triângulos que tenham perímetro numericamente igual à área, quando fixamos a unidade e exigimos que os lados do triângulo tenham medidas inteiras.

Sejam a,b,c as medidas dos lados de um triângulo na unidade fixada, p o perímetro e s o semiperímetro. Então, impondo que a área e o perímetro sejam medidos pelo mesmo número (perímetro na unidade e área na unidade ao quadrado), teremos:

Demonstremos que o perímetro tem que ser par. Ora,

•    ou um dos lados é ímpar e os outros dois lados são pares;

•    ou   a, b e c são, os três, ímpares;

em qualquer dos dois casos, a raiz quadrada do numerador é ímpar e  p  não pode ser inteiro.

Então o perímetro é sempre par, e  s  é inteiro, o que acarreta serem x, y, e  z  também inteiros.

1.   O triângulo não pode ser eqüilátero.  Nesse caso   x = y z   e, por (I),   4(3x) = x³   ou   x² = 12,   o que não produz número inteiro para  x.

2.   O triângulo não pode ser isósceles. Nesse caso z =  y,  por exemplo, e (I) se transforma em  4(x + 2y) = xy²  ou  xy² 8y 4x = 0,   donde  y,  para ser inteiro, vai depender de que   4+x² seja um quadrado perfeito, o que não acontece para nenhum x > 0,   inteiro.

3.   Então  x,  y  e  z  são inteiros e diferentes e o triângulo será escaleno.  Façamos sempre   z>y>x 1;   x   não pode valer zero, porque senão a = s  e não existe triângulo. Então o menor x  é 1, se possível.

Outros valores de y ou não produzem z inteiros, ou produzem  z < y.

Outros valores de y ou não produzem z inteiros, ou produzem  z < y.

Qualquer outro valor de  a:   terá  y < x   para  z  ser inteiro.

Lembrando que   a = y + z,     b = x + z,    c = x + y,   podemos escrever:

Estes lados definem os únicos cinco triângulos que satisfazem as condições exigidas.

NR. O argumento acima estuda as possíveis soluções inteiras estritamente positivas da equação (I). A interpretação geométrica encontrada não é tão natural, entretanto.

Com efeito, um triângulo que tenha lados medindo 10, 8 e 6 unidades terá, como acabamos de ver, perímetro numericamente igual à área nessa unidade. Construa, então, um triângulo com 10, 8 e 6 cm de lados e torne a medir seus lados em milímetros: ele terá, agora, um perímetro de 240 mm e área de 2400 mm². O fenômeno da igualdade desapareceu!

De fato, na equação de partida

pensados como medidas, o 1° membro dá o número de unidades e o 2° dá o número de unidades ao quadrado. Há uma diferença na dimensão.

Não só essa propriedade de coincidência numérica da área e perímetro não resiste à mudança de unidades como também ela não é privilégio de certos triângulos. De fato, dado um triângulo qualquer, existe sempre uma unidade de comprimento em que o perímetro seja o mesmo que a área: basta tomar o perímetro p' numa unidade u' qualquer e a área A' na unidade (u')^{2 e} tomar a nova unidade u = (A' / p')u'. O leitor pode verificar que, na unidade u, o perímetro e a área do triângulo dado se medem pelo mesmo número.

Acontece entretanto que, nem sempre, as medidas dos lados, nessa unidade u, serão números inteiros. 0 teorema do artigo prova que essas medidas só serão, as três, dadas por números inteiros se o triângulo de partida for semelhante a um daqueles 5 triângulos encontrados. Nesse contexto, eles são especiais.

Rizio Santana tem idade suficiente para ser bisavô mas é apenas avó. E formado em Química (pelo Mackenzie) e Matemática (pela FAFI de TVés Corações). Lecionou Física em colégio estadual e Cálculo numa faculdade. Não se considera em absoluto um matemático, mas alguém que adora brincar com os números.