![]() |
|
|
|||
![]() |
Alexandre Kleis
... sabe aquele cara que somou todos os números da lista telefônica e depois discou para o número resultante esperando que todo mundo atendesse?
Onde moro, os
telefones têm apenas três dígitos. Lembrei-me de uma questão parecida que
lera em [2] há tempos e me propus o seguinte problema: em quantos casos a
soma dos algarismos de um telefone é
s?
(Naturalmente, 0
Para resolver este problema, usamos um artifício imaginado por De Moivre *, em 1730.
Com os algarismos 0, 1, 2, ..., 9 podem ser formadas 103 seqüências (números telefônicos) a1, a2, a3. Para obter todas estas seqüências, basta desenvolver o polinômio
_________
dado que elas aparecerão nos expoentes de cada termo xa1xa2xa3 antes da redução dos termos. Deste modo, a soma s= a1 + a2 + a3 é o grau deste termo xai+a2+a3 = xs Assim, o número de telefones cuja soma dos algarismos é s é o coeficiente A3 do termo em xs(isto é, a quantidade deles) no polinômio P. Logo:
derivar duas vezes, obtendo
Podemos também usar a fórmula do Binômio de Newton,
que,
para
Portanto, para
O
coeficiente de xs (0
ou
O gráfico de
As , para 0
O máximo valor de
As (0
Bibliografia [1] HaJl, H. S. e Knigllt, S. R. Álgebra Superior. México, Uteha, 19G9. (Veja o ex. 2, p. 467.) [2] Nogueira, Rio. Lições de Análise ComWiialória. São Paulo, Atlas, 1975. (Veja o ex. 31, pp. 124-5.) [3] Seeley, Robert T. Cálculo de uma variável (vol. 2). Tradução de João B. Pitombeira. Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1974. (Veja o ex. 5, p. 548.)
|