Alexandre Kleis
Colégio Pitágoras Luanda, Angola

... sabe aquele cara que somou todos os números da lista telefônica e depois discou para o número resultante esperando que todo mundo atendesse?

     1.   O problema

Onde moro, os telefones têm apenas três dígitos. Lembrei-me de uma questão parecida que lera em [2] há tempos e me propus o seguinte problema: em quantos casos a soma dos algarismos de um telefone é s? (Naturalmente,   0 s 27.)

Para resolver este problema, usamos um artifício imaginado por De Moivre *, em 1730.


 

     2.   A solução

Com os algarismos 0, 1, 2, ..., 9 podem ser formadas 103 seqüências (números telefônicos) a1, a2, a3. Para obter todas estas seqüências, basta desenvolver o polinômio

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Abraham De Moivre (1667 - 1754) em Miscellanea Analytica usou este artifício para calcular a probabilidade de obter soma s no lançamento de n dados.

dado que elas aparecerão nos expoentes de cada termo   xa1xa2xa3 antes da redução dos termos.

Deste modo, a soma s= a1 + a2 + a3 é o grau deste termo xai+a2+a3 = xs Assim, o número de telefones cuja soma dos alga­rismos é s é o coeficiente A3 do termo em xs(isto é, a quantidade deles) no polinômio P. Logo:

derivar duas vezes, obtendo

Podemos também usar a fórmula do Binômio de Newton,

que, para 1 < a < 1,   é válida ainda que   n   não seja um inteiro positivo ([3]). Obtemos:

Portanto, para   1 < x < 1

O coeficiente de   xs   (0 s 27)   no produto acima é:

ou

 

     3.  O meu telefone

 

     4.  As somas mais comuns

O gráfico de   As ,  para 0 s 27, está na página seguinte.

O máximo valor de As (0 s 27), para s inteiro, ocorre para    s = 13   e    s = 14. As somas s = 13    e    s = 14 são as mais freqüentes; aparecem   A13  =  A14  = 75   vezes.

 

Bibliografia

[1]  HaJl, H. S. e Knigllt, S. R. Álgebra Superior.  México, Uteha, 19G9.  (Veja o ex.  2, p.  467.)

[2]  Nogueira,  Rio.    Lições de Análise ComWiialória.   São Paulo,  Atlas,  1975. (Veja o ex.  31, pp.  124-5.)

[3]  Seeley, Robert T. Cálculo de uma variável (vol.   2).   Tradução de João B. Pitombeira. Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico, 1974. (Veja o ex. 5, p. 548.)

 

Na RPM 14 foi publicado um artigo de Alexandre Kleis. Naquela ocasião ele se encontrava em Patuca, Equador, no Colégio Pitágoras, acompanhando a Construtora Andrade Gutierrez, que estava construindo uma estrada na região. Agora, acompanhando a Construtora Norberto Oderbrecht, que está fazendo uma hidrelétrica em Capanda (a 400 km de Luanda) e trabalhando no Colégio Pitágoras, Alexandre Kleis nos brinda com um artigo escrito em Luanda, Angola. De que parte do mundo virá seu próximo artigo?

 

Gabarito das Questões de Concurso - p.  47

1.  D

3.  A

5.  D

7.  E

9.  E

11. C

13. D

15. C

17. B

19. A

21. B

23. D

25. C

27. B

29. B

31. B

33. C

35. B

37. C

39. A

41. C