Eduardo Wagner
Rio de Janeiro, RJ

Outro dia, uma colega, professora de Matemática, lembrava de um processo geral para dividir um círculo em n partes iguais e perguntou-me se eu sabia a justificativa do método. Não sabia, mas prometi investigar.

Tratava-se do seguinte:

"Para dividir um círculo em n partes iguais, considere um diâmetro AB e obtenha o vértice P do triângulo equilátero ABP. Divida AB em n partes iguais e trace a reta que une P ao segundo ponto de divisão, contado a partir de A, determinando no círculo o ponto TV. Então, AN é lado de um polígono regular convexo de   n   lados".

Este processo é devido a um matemático, hoje obscuro, chamado Bion que, em 1752, publicou um tratado sobre construções geométricas.

Naquela época, para o não matemático, não era comum diferençar processos de construção exatos de outros, aproximados. O processo de Bion é exato apenas para a divisão em 3, 4 e 6 partes, mas funciona bastante bem para qualquer outro valor de n.  Para que se tenha uma idéia, para n = 5 o método de Bion fornece um arco AN de 71°57'12" no lugar de 72° (Burali -Forti, Intermédiaire des Mathématiáens, 1900, p. 405, Q.1988.)

Consideramos, em Desenho Geométrico, que uma construção geométrica tem boa aproximação, se o erro máximo for da ordem de 1%, o que nos permite ainda hoje, por exemplo, usar a aproximação de Arquimedes para o número : 22/7 , que aparecerá na análise do nosso problema. Antes, porém, vamos obter dois interessantes resultados.

Lembrando que "aproximadamente" tem o sentido dado anteriormente, vamos calcular alguns valores de f, bem como suas derivadas nesses pontos. Os resultados estão no quadro abaixo:

VALORES  APROXIMADOS

Nos poucos pontos calculados, a função está se comportando de acordo com a nossa proposição. Mas o que acontece nos outros? Repare que a derivada em x = /3 é maior que 1 e em x = /2 é menor que 1. Como f é contínua e derivável em todo ponto do intervalo

É uma equação fácil que implica em    cosx  =  1    ou    cosx = 5/16.

Portanto

é o valor procurado.

Podemos então esboçar o gráfico de f (fig. 2).

Portanto, quando se considera x como aproximação de f(x), o erro máximo é

Seja MN um arco de medida não superior a 90° que se deseja retificar. Como na figura 3, prolonga-se o diâmetro por M de um comprimento 3R/4, obtendo-se o ponto P. A reta PN encontra a tangente traçada por M em TV'. O segmento MN' é, aproximadamente, a retificação do arco  MN.

Este processo é bastante útil pois, além de retificar arcos, permite obter num círculo um arco cujo comprimento é dado. Mas, por que funciona? Tomemos um círculo de raio 1, para simplificar, e seja x a medida em radianos do arco MN da figura 4. Seja ainda  c  o comprimento do segmento  MN'.

Da semelhança dos triângulos   PLN   e   PMN',   temos

Repare na figura 5 que se AB é o diâmetro do círculo e se P é o mesmo do item anterior, o segmento A'B' é a retificação do semicírculo.

Ora, se dividirmos A'B' em partes iguais, então as semi-retas traçadas por P dividirão AB em partes iguais e o semicírculo superior também em partes iguais (aproximadamente). Se desejamos ter AN = 2/n, devemos considerar A'N' = 2A'B'/n e, conseqüentemente,   AQ=2AB/n, justificando o processo de Bion.

Para terminar, os leitores mais atentos devem ter reparado que o ponto P inicialmente era o terceiro vértice do triângulo equilátero ABP e depois foi obtido prolongando-se o diâmetro de

Bibliografia

Giongo, A. R. Curso de Desenho Geométrico. São Paulo, Nobel, 1975.