Um leitor pergunta e vários respondem

Procurando o valor de x = CE na figura ao lado, a redação da RPM calculou a solução que se encontra entre 0 e 1 da equação

x⁴ + 2x³ + x² - 2x 1 = 0

pelo método de Newton, chegando a uma aproximação e afirmando desconhecer um processo algébrico para resolver completamente a equação por meio de radicais (RPM 18, p. 67). Vários leitores escreveram, apresentando alguns artifícios que permitem essa resolução e chegaram a solução procurada sob a forma

Agradecemos a atenção desses leitores e apresentamos um esboço das várias sugestões que nos chegaram. O colega José Paulo Carneiro, RJ, somou 2x² +2x + 1 a ambos os membros da equação, reduzindo-a à forma

Como x² 2 0  na equação de partida, é possível aplicar a fórmula de Bhaskara à expressão acima, o que dá

Daqui, ele prosseguiu escolhendo a única raiz positiva.

O colega Hideo Kumayama, SP, preferiu trabalhar com novas variáveis, fazendo  x = y 1, com o quê obtém

e, então, tomando t = y + (l/y), chega a  t² 2t 1 = 0  que ele resolve, ficando com a única solução positiva e retornando a x. Ele observa que este processo equivale a chamar, na figura, BE  de   y.

O aluno do Bacharelado de Matemática do IME-USP, Ivanildo Dias de Lima, já se deparou com esse problema, quando era plantonista do curso Anglo-Vestibulares. Na ocasião, usou outra variável, fazendo z = DF na figura e recaindo na mesma equação que o Hideo

Ele resolve esta equação do mesmo modo, fazendo t = z + ( l/z) e voltando a x pela relação x² + (1 z)² = 1, o que o leva à solução numa forma um pouco mais complicada do que os outros. Observe-se que nos dois últimos processos, chega-se à mesma equação quer para  y, quer para z, o que não é uma contradição pois, elas correspondem a soluções diferentes dessa equação. Com efeito,  y > 1  e  z < 1  e esse fato deve ser levado em conta na escolha das soluções.

O colega Sérgio de Oliveira, RJ, chega à solução de um modo mais direto, observando que   x⁴ + 2x³ + x² 2x 1 =

Feito isto, escolheu a única solução positiva dentre os dois pares de soluções das equações do 2.° grau que obteve anulando cada um desses fatores. Neste último procedimento, o pulo do gato está na fatoração acima que o colega considera "fácil de ver". Será mesmo fácil? Cada um destes artifícios algébricos permite a obtenção de todas as soluções da equação acima, mas convém observar que a expressão obtida também só permite conhecer aproximações do valor de  x   da mesma maneira que o método de Newton.

   Um abraço do Nordeste ao Sul

O colega Felizardo Toscano, PE, agradece ao colega gaúcho Constantino de Souza pelo envio do volume I do Curso de Álgebra de Sinézio de Farias, que lhe foi muito útil. Trata-se de resposta ao Balcão do Mestre (RPM 13, p. 68).

   Aproximações racionais de irracionais

O colega Jean Sebastian P. Wenger, RJ, motivado pela pergunta de Sérgio Noríaki Sato (RPM 15, p. 64) a respeito de aproximações de números irracionais, apresenta 10³⁵/30!5!, com erro menor que   0,002%.

RPM. Embora esta seja uma expressão simpática, ela envolve números muito maiores do que aquela da RPM 15,  103 993/33 102.

  Amigos da RPM a cada ano

Continuam chegando adesões ao Grupo Amigos da RPM e muitas cartas com sugestões e palavras de estímulo. Dentre estas, destacamos a do colega Sérgio F. Cuzzolini, SP, que sugere a ajuda anual. Estamos já lançando neste número o Amigo 91. O colega sugere também que, a exemplo do 1.° Caderno, outros sejam publicados com palestras proferidas em Congressos de Matemática.

  Sobre o conteúdo da RPM

O colega Marcelo Gama, PE, faz coro com vários outros leitores, pedindo que se publique um pouco da vida e da obra de grandes matemáticos. A colega Maria de Fátima R. Barbosa, MT, além de biografias pede também questões curiosas, brincadeiras e montagem de material didático. Na mesma direção, escrevem os colegas Wilson B. dos Santos, RJ e João Silvio Rodrigues, RS, interessados em cultivar em seus alunos o gosto pela Matemática.

RPM. As seções História e histórias ..., Probleminhas, Artefatos, Para que serve e notas de final de página pretendem preencher este requesito. Ainda assim, alertamos nossos autores para as necessidades dos leitores expressas na correspondência. Convidamos também nossos colegas experientes que tenham algo a contar nessa linha a colocar suas boas idéias no papel e remetê-las à RPM.