78.    a)   Mostre, através de  um  exemplo,  que  existem  progressões aritméticas de termos inteiros positivos que não contêm nenhum termo que seja um quadrado perfeito.

b)  Mostre que se uma progressão aritmética de termos inteiros positivos contiver um quadrado perfeito, ela terá necessariamente infinitos quadrados perfeitos.

c)     As afirmações a) e b) são verdadeiras para qualquer potência  n-ésima, n > 2 ?

(Proposto por Cláudio Possani   IME-USP)

79.     Dada  uma  seqüência  finita  de   números  inteiros   positivos, a₁, a₂, ...,a_n,  não necessariamente distintos, mostre que existe ao menos uma subseqüência cuja soma dos termos seja divisível  por n.

80.    No interior de um triângulo retângulo ABC temos três círculos, cada um deles tangente a dois lados do triângulo e aos outros dois círculos. Sabendo-se que os dois círculos tangentes à hipotenusa têm o mesmo raio R, determine o raio do terceiro círculo.
(Proposto por Carlos E. Hurle - IME-USP)

81.      São dados 2 barris com capacidades iguais a 100 litros.    Um deles está vazio e o outro cheio com uma mistura homogênea de 70 litros de álcool e 30 litros de água. Inicia-se uma seqüência de transferências do líquido de um barril para outro.   Admita que em cada transferência ocorra uma perda de 1% do volume, perda esta que é reposta com água.   Após n (n 1) transferências, determine o volume A_n de água na mistura.
(Proposto por Carlos E. Harle - IME-USP)

1.        Como partir um bolo em 8 partes iguais usando a faca apenas 3 vezes?

2.        Mostre que  a² + b² + c² > ab + bc + ac  quaisquer que sejam os números reais  a,b e c.

(Enviado por José Cláudio Saraiva , São Miguel do Anta, MG)

3.  As 6 horas o relógio da igreja levou 30 segundos para dar as 6 badaladas. Jorge concluiu que ao meio-dia ele levaria 1 minuto para dar as 12 badaladas.   Mas ele estava enganado.   Qual é o tempo correto?

(Proposto numa Olimpíada - enviado por José de Oliveira Siqueira, São Paulo, SP)

(Ver respostas no final desta seção)

70.   Dados os números reais  x₁,  x₂, ... x_n,  determine o valor (ou valores) de A que minimizam:

Solução:

Vamos supor, sem perda de generalidade, que  x₁  x₂  ... x_n .  1.°caso: n é par, isto é, n=2k,  k inteiro.

Vamos agrupar as parcelas de  Y, duas a duas, na forma indicada abaixo:

Usando o fato de que o módulo da soma é sempre menor do que a soma dos módulos, temos:

Seja agora  A  urn número qualquer compreendido entre   x₁ e  x_k+1 . Um  cálculo simples e direto mostra que nesse caso

e, portanto, quando  n   for par, o valor mínimo de  5  é atingido para todo   A  que satisfaz:

2.° caso: n  é ímpar, isto é,   n = 2k + 1, k   inteiro.

Fazendo o mesmo agrupamento de panelas que fizemos no 1.° caso, a parcela  Ix_k+1 AI   ficará isolada. Como   Ix_k+1 AI 0,   podemos escrever:

Um cálculo simples mostra que esse limite inferior nada. mais é do que o valor de  Y  quando A=x_k+1. Portanto, para n ímpar, o valor mínimo de Y é atingido quando  A = x_k+1,  onde  k=(n 1)/2.

71.  Dado o triângulo isósceles , traçar, com régua e compasso, a transversal    XY     de modo que    AX  = XY = YB.   (0 que ocorre quando   ?)

Solução:

1.         Construa a bissetriz do ângulo   .

2.         Trace a mediatriz do segmento AB.

3.         Essas duas retas se encontram em um ponto   P  e a reta   AP   corta  BC   em  Y.

4..  Com centro em   Y,   raio  YB,   trace a circunferência que corta    AB   em  X .

Justificativa:

Como   P   pertence à mediatriz de   AB, PA = PB   e, portanto,   = /2.

Como   XY = YB,    = e como  é um ângulo externo ao triângulo AXY, segue-se que  = /2 e, portanto, que   AX = XY.

Quando   /2 =   o ponto  Y  coincide com   C   e quando   /2  >  4, ele é ex terno ao lado   BC.   O ponto importante da construção é o fato de     ter que ser necessariamente, igual a   /2.    Vale a pena ainda notar que a bissetriz de     e a mediatriz de   AB  sempre se cruzam num ponto   P   tal que   = /2 .

(Solução enviada por António Edson C. Parente, de Fortaleza, CE)

Nota     O leitor Sérgio Dalmas, de São Vicente, SP, observou, corretamente, que a hipótese do triângulo  ABC  ser isósceles é desnecessária para. a solução do problema.

72. Na figura, o diâmetro AB mede    e a corda CD forma um ângulo de 30° com AB. Se E é o ponto médio de AO, onde O é o centro do círculo, calcule a área da região hachurada.

(Questão de concurso: Colégio Naval, 1984)

Solução:

O problema será resolvido em situação geral sendo dados   R,  raio do círculo, d = EO   e      a medida, em radianos, do menor ângulo formado por   AB e CD.

Sejam e as medidas em radianos dos arcos BD e AC, respectivamente. Seja  F um ponto de  ED tal que OF = d.  Como  EF e CD possuem o mesmo ponto médio, concluímos que   FD = CE e,  portanto, os triângulos   OFD e OEC são congruentes. Assim, a área procurada é a soma das áreas dos setores   OBD   e   OAC com a do triângulo isósceles  OEF.
Temos então

Observe que esta fórmula também vale para os casos degenerados  d = 0  e  d = R. Quando  

(Solução enviada por Eduardo Wagner, Rio de Janeiro, RJ)

73. Se a diferença entre dois cubos consecutivos for um quadrado, então ele será o quadrado da soma de dois quadrados. Ex.: 8³ 7³ = (2² + 3²)².

Solução:

Sendo        (n + l)³ n³ = p²         tem-se        3n² + 3n + 1 = p²

Multiplicando por 4 vem:

12n² + 12n +3 = (2p)² 1  e, portanto,   3(2n + l)² = (2p l).(2p + 1)

Como   2p 1   e   2p + 1   são primos entre si,

De (2) tem-se que  y² 1 ou y² 2 (mod 3). Como y se escreve de uma das seguintes maneiras: 3k, 3k + 1 ou 3k + 2, vemos, facilmente, que y² 2 (mod 3). Assim a única possibilidade é y² 1 (mod 3) e, portanto, 3x² y² = 2 que subtraída de (1) nos leva a   y² = 2p 1   e, portanto,

Donde segue o resultado, tendo em vista que   y  é ímpar, já que   y² = 2p 1 é ímpar .

(Solução de Angelo Barone Netto, São Paulo, SP)