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Todos nós, sem dúvida, já fizemos um barco, um chapéu ou um avião de papel. Esta arte tem um nome: origami. Origami é uma palavra de origem japonesa que significa "dobrar papel". Desde 1876 esta arte faz parte do currículo escolar japonês e no Brasil, aos poucos, ela vai se introduzindo no ensino. O origami pode servir como um simples passatempo nos momentos de lazer; pode ainda ser utilizado como um recurso didático que colabora para o desenvolvimento da criatividade e da habilidade manual de crianças. Para nós, professores de Matemática, o origami oferece um farto material para descobertas teóricas. E evidente que a teoria surge da observação de fatos e da colocação de problemas. Um dos problemas práticos do origami é dobrar um quadrado em um número ímpar de retângulos congruentes. Você já tentou dobrar um quadrado de papel em 3 retângulos exatamente iguais? Parece fácil. Mas não é. Este artigo tem como objetivo resolver este problema particular e também generalizar o resultado para que se possa dobrar um quadrado em um número qualquer de retângulos congruentes.
Dividir um quadrado de papel em 3 retângulos congruentes, usando dobras de papel. Solução: Pegue uma folha quadrada e siga as instruções: (a) dobre o papel, fazendo A coincidir com D e B coincidir com C. Desta forma ficam determinados E e F, pontos médios de AD e BC;
(b)
(c) chame de G o ponto de AB que coincide com um ponto de AD na nova posição.
Fazendo o mesmo para o segmento DC, podemos obter o ponto H:
Os
pontos G e H
assim obtidos dividem o lado AB
em três segmentos congruentes. Vamos demonstrar esta afirmação, que é conhecida como teorema de Haga. Demonstração:
No
PD2 = PC2 + DC2
Dividir um quadrado de papel em 5 retângulos congruentes usando dobras de papel.
Deixamos a prova deste resultado por conta do leitor.
Dividir um quadrado de papel em 7 retângulos congruentes usando dobras de
papel.
J, K,
L, M são pontos médios,
respectivamente, de AE, BF, ED, FC
Pedimos
ao leitor, novamente, que demonstre este resultado.
Dividir um quadrado de papel em 9 retângulos congruentes usando dobras de
papel
Caro
leitor, desta vez é o último que pedimos para você provar. Demonstraremos
o teorema geral que possibilita fazer as divisões acima:
Demonstração:
Logo,
Corolário 6:
Se m + n
(Observe
que 2d
é o número de retângulos congruentes resultantes dos vincos no papel e
m significa considerar E como o m-ésimo ponto de divisão depois
de A.)
Exemplo:
Duas dobras
(d =
2) paralelas ao lado AD.
É
interessante notar as relações de dependência entre as divisões.
Exemplos
como o primeiro ponto depois de A
determinado por
d
Podemos
resumir as relações de dependência entre as divisões através
do esquema abaixo (válido para 1 / n,
n um número natural não nulo), feito para
Observamos que as construções acima utilizam uma régua e um compasso não
canônicos
representados por coincidências de pontos e dobraduras de papel.
Um problema mais complicado seria a generalização usando um retângulo
de lados a e b (a
Bibliografia
[1] Kanegae, M. e Imamura, P. Origami,
Arte e Técnica da.
Dobradura. de Papel.
Ed. da Aliança Cultural Brasil-Japão, 1988.
[2]
Kasahara,
Kunuhiko
e Takahama,
Toshie. Origami
for Connoisseur.
Japan Publications, Inc. Tokyo and New York,
1987.
[3] Imenes, L. M. Geometria das Dobraduras. Editora Scipione, 1988.
[4] Chemello, T. Brincando com Dobraduras. Ed. Global, 1987. [4]
Haga, A. e Kanegae, M. Brincando com Papel. Ed. Global, 1982.
José
de Oliveira Siqueira, 24
anos, é bacharel em Estatística pelo IME-USP e atualmente presta serviços
na área de Métodos Quantitativos e Informática na FEA-USP. E grande
admirador da cultura japonesa e fascinado por Geometria.
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Os triângulos DGB
e PDC são semelhantes. Portanto
PDC, por Pitágoras, temos 
2d,
onde d é o número de dobras paralelas ao lado
AD, então
:
b).