Ainda o 3⁰:

Alipio D. dos Santos Neto, de Brasília, DF, estudante universitário que gosta de "brincar seriamente com números", lendo a justificativa que o colega Sérgio de S. Rezende apresenta a seus alunos para definir 3⁰ como sendo 1 (RPM 15, p.67), sugere o seguinte: se 3^a 3^b = 3^a-b então, se a = b, teremos 3^a = 3^b, logo o primeiro membro dessa igualdade fica 1 e o segundo fica 3⁰. Uma explicação semelhante foi sugerida por António Clemente Batista Filho de São José de Ribamar, MA.

RPM: Otimo! Este é mais um argumento para que, ao definir 3⁰, se faça 3⁰ = 1. O que quisemos frisar na RPM 15 é que argumentos como este justificam que se defina 3⁰ como sendo 1 e não provam que 3⁰ seja 1. Por que não provam? Porque quando se define 3ⁿ como produto de n fatores iguais a 3, isso só faz sentido se n 2. Ora, se não sei o que é 3⁰, não posso provar nada a respeito de 3⁰. Só posso provar algo se eu der um sentido a 3⁰. Se defino 3⁰ como sendo 1, não há mais necessidade de provar que 3⁰ seja 1; só há necessidade de defender a escolha do 1 como valor de 3⁰. Os argumentos do Alipio, do Sérgio ou do Antonio Clemente são úteis para essa "defesa". E o estudante que perceber a conveniência de se definir 3⁰   como sendo 1 para manter válida a regra 3^a 3^b = 3^a-b , mesmo quando a seja igual a b, terá mais facilidade para reter a definição de memória. Também ficará mais simples, como lembra a seguir o missivista Alipio, aceitar a definição de que 3^-1 = 1/3 ou, em geral, se n 1, de que 3^-n = 1/3ⁿ. Com efeito, a definição "produto de fatores iguais a 3" não serviria para dar sentido a 3^-1, 3^-2, .... Então tais expressões não estão definidas. Agora, como 3³ 3⁴ dá 1/3 quando se efetuam os cálculos e dá 3^-1 quando se aplica a regra 3^a 3^b = 3^a-b, se quisermos que esta regra ainda "funcione" mesmo com  a < b,  é preciso definir 3^-n como sendo   1/3ⁿ.

Resumindo, definimos 3" como sendo o produto de n fatores iguais a 3, quando n 2 e 3¹ = 3 . A partir dessa definição, vemos que 3^a 3^b = 3^a-b  sempre que os naturais  a e b  são tais que a > b (para que 3^a-b também faça sentido). Ainda não sabemos o que seriam 3⁰, 3^-1, 3^-2 , .... Se quisermos que esta regra funcione também para a < b , devemos impor 1 como valor de 3⁰ e 1/3ⁿ como valor de 3^-n (se n 1). Agora é possível provar que a regra 3^a 3^b = 3^a-b vale quando a e 6 sejam inteiros quaisquer. E só separar os vários casos conforme a, b, e a b sejam positivos, nulos ou negativos.

Independentemente do colega Sérgio Dalmas, (RPM 15, p.67), o colega Francisco das C. S. Carvalho, de Teresina, PI, tentou escrever os números de 1 a ,100 com os algarismos 1, 9, 9, 0, nessa ordem, conectados pelos sinais das 4 operações, potência, raiz quadrada e fatorial. Por exemplo,

1 = 1 ^. 9 9 + 0       ;        2 = l ^. 9 9 + 0!       ;        10=1 ^. 9 + 9⁰,

Ficaram faltando 51, 65, 67, 68, 69, 74, 75 e 77.

 A colega Sônia. Maria M. Caruso de Barueri, SP, gostaria de comunicar-se com professores que tenham analisado a coleção Matemática e Vida de Bongiovanni, Vissoto e Laureano, ou que saísse um comentário na Revista (v. Balcão do Mestre, p.56).

RPM: Estamos reativando a partir deste número a seção Livros, com resenhas curtíssimas sobre livros de divulgação. Continuamos, entretanto, perseguindo a idéia de apresentar análise dos livros-textos usados pelos professores em sala de aula. Para isso, a colaboração do colega leitor é imprescindível. O colega que tiver feito análise deste ou de outro livro qualquer, pode enviá-la a Livros - RPM em nosso endereço.

Refletindo sobre o que seriam os 10 mandamentos de Matemática (RPM 12, p.70), o colega José Ozanan Bosco, de Belo Horizonte, MG, sugere mais um: "Destacarás, coerentemente, coeficientes, variáveis e expoentes".

Nosso conhecido colaborador Lucien Jean Thys, de Porto Alegre, RS, junta aos parabéns ao professor F. Q. Gouvêa pelo artigo Em busca da "Demonstração Maravilhosa" (RPM 15, p.14) a informação de que "em 1908, um tal de Dr. Wolfskehl instituiu a soma de 100 mil marcos, de então, para quem descobrisse a demonstração do Último Teorema de Fermat, prêmio válido até 2007".

A respeito do artigo Dízimas periódicas e a calculadora, (RPM 14, p.37) ele nos envia alguns cálculos que fez, por exemplo, para achar o período de 1/23 que tem 22 dígitos. Tomado o número formado pelo período e multiplicando sucessivamente por 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, ele encontra permutações cíclicas do número de partida. Junto desses e de outros cálculos com números de até 58 dígitos, ele apresenta um caso mais simples: o de multiplicar 1/7 por 2, 3, ..., 8. Experimente o que acontece ao multiplicá-lo por 7. Por que isto se deu? (Ver também RPM 10, p.66.)

Por último, o colega se mostra chocado com a notícia sobre os Amigos da RPM (RPM 15, p.l), arriscando a explicação de que o fato da RPM sempre ter sido distribuída gratuitamente não seja devidamente apreciado.

RPM: Agradecemos ao colega que, sempre atento, complementa informações para nossos leitores, contribuindo para que nossa Revista seja mais dinâmica.

Quanto ao número de Amigos da RPM, que ficou aquém de nossas perspectivas, não "resulta em desilusão" mas se constitui num novo desafio que todos nós, equipe, colaboradores e leitores mais interessados, temos que enfrentar. E preciso fazer um Fundo de Reserva para a RPM que nos garanta a publicação de alguns números, independentemente de verbas oficiais. A equipe concorda também com o colega Thys que a RPM não deveria ser distribuída gratuitamente. Mas, conhecendo nossos níveis (ou desníveis!) salariais por este país afora, quantos de nós poderíamos pagar o custo real da Revista? E nós que não pudermos pagar, ficaremos sem a Revista? Como dissemos na RPM 15, aguardamos o tempo em que o professor brasileiro possa escolher e pagar o material de que precisa para exercer dignamente sua profissão. Enquanto esse tempo não chega, nossas dificuldades financeiras servem também de denúncia desse estado de coisas, embora representem uma dimensão a mais em nossa luta para fazer chegar a RPM às mãos do professor. Não é tão difícil porque são milhares de leitores que podem lutar conosco.

Escreve-nos a colega Raquel Araium, de Sorocaba, SP, contando que usou textos da RPM entregando-os a alunos da 6? série. Eles leram A Matemática e o Caipira (RPM 1, p.3 e RPM 2, p.13), Por que o parafuso é sextavado? (RPM 4, p.9) que tratam de proporções, médias, Gauss (o menino que assombrou o professor, RPM 4, p.l), PA na 6.ª série? (RPM 13, p.51), além da Origem do jogo de xadrez (este último, extraído de Malba Tahan). A mestra observou o entusiasmo com que os alunos estudaram e sua alegria, que se manifestava no brilho dos olhos.

RPM: E isso mesmo, colega. Nossos alunos querem aprender. Ao recorrer à leitura diretamente das fontes, eles têm que vencer dificuldades, mas sentem que estão caminhando no sentido da independência intelectual. Quanto à RPM, ficamos satisfeitos, pois nosso objetivo é o de ajudar o professor no seu desempenho junto aos seus alunos. Informações como essas, sobre a matéria utilizada, servem de norte para autores e editores da Revista. Agradecemos.

O colega Artur Pires Custódio, de Belo Horizonte, MG, escreve-nos dando um exemplo de curiosidade da qual os alunos da 7.ª série gostaram muito. Ao dar equações literais, ele pede que resolvam

O aluno, ao resolver, encontra a solução  x = amo + te.

RPM : Essa é uma outra versão do l.° probleminha da RPM 8, p.49. Que tal trocar o (x te)   por   (x + te) ?

Olimpíadas regionais e História

O colega Cleunilson B. Medeiros, de Taquatinga, DF, escreve-nos pedindo a publicação de fatos curiosos da História da Matemática e Biografias de Grandes Matemáticos. O colega Ulisses S. Ribeiro, de Araraquara, SP, gostaria de ver publicados na RPM os nomes dos alunos classificados e as questões das Olimpíadas de São Paulo. Ele nos conta que, todos os anos, tem alunos classificados para essas Olimpíadas e que a divulgação desses fatos pela RPM seria um estímulo para que os jovens professores se dedicassem mais ao estudo da Matemática.

RPM: Estamos, mesmo, precisando de mais espaço para melhor atender às necessidades de nossa categoria. Parece que a RPM está madura para aumentar sua freqüência de 2 para 3 e de 3 para 4 números por ano. Precisamos dos recursos financeiros, este é um recado para os Amigos da RPM! Quanto às Olimpíadas de São Paulo, elas têm um espaço muito reduzido na RPM, pois são várias as Olimpíadas. Há as regionais, a nacional, a ibero-americana e a internacional, todas de alguma forma ligadas à SBM. Sendo a RPM uma revista de âmbito nacional, os assuntos regionais comparecem com menor prioridade. Um outro fato, entretanto, nos chamou a atenção na carta do colega paulista que é aposentado do Magistério Estadual e continua lecionando. Diz ele: "ganho pouco, mas gosto do que faço ... todos os anos meus alunos são classificados para a fase final da Olimpíada ...". Ora, todos nós sabemos da competência e dedicação exigidas para o exercício da profissão nesse nível. Por que nossos salários não refletem isso?