 |
|
|
|||
 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
74. Neste ano de 1990 a Prefeitura do Município de São Paulo determinou que o imposto predial deveria ser corrigido em 70% da variação do BTN entre o mês do lançamento (janeiro) e o mês do vencimento. Um contribuinte cujo imposto vencia em março fez os seguintes cálculos: 1) dividiu o BTN de março pelo BTN de janeiro obtendo um número; 2) multiplicou esse número pelo valor do imposto; 3) calculou 70% do resultado obtido. Explique por que o caixa do Banco se recusou a receber e como seria o cálculo correto do imposto desse contribuinte. 75. Uma urna contém n bolas numeradas de 1 a n. Bolas são retiradas dessa urna sucessivamente, sem reposição, até que pela primeira vez apareça um número maior que todos os anteriores. Caso isso não aconteça o processo prossegue até que se esgotem as bolas da urna.Para k = 2, ..., n, determine a probabilidade de que o processo pare na k-ésima retirada. 76. Resolva em inteiros x4 + 5x2 + 2x2y2 + y4 + 3y2 - z2 + 8 = 0 (Proposto (mas não usado) para a 4? Olimpíada. Ibero-americana) 77. Pelo ponto médio M do lado BC de um quadrilátero ABCD traçar a reta que divide esse quadrilátero em duas partes de áreas iguais. (De um problema enviado por Sérgio Edézio Moreira).
Para seus alunos de 6.ª série: 1. Se galinha e meia põe ovo e meio em dia e meio, quantos ovos põe uma galinha em 6 dias?
2.
3. Acertei dois relógios no dia 1 de junho, ao meio dia e depois os guardei. O primeiro adiantava 10 segundos por hora e o outro atrasava 10 segundos por hora. Quando é que os dois relógios voltarão a marcar a mesma hora? (Tirados de Thesouro da Juventude, W. M. Jackson, Inc. Editores; enviados para a RPM por José de Oliveira Siqueira..) (Ver respostas na seção "O leitor pergunta") Probleminhas da RPM 14 recebeu cartas - de Rizio Sant'Ana, Campanha, MG, que encontrou 23 soluções para ENVIE + MAIS = GRANA (RPM 14, p.61), usando computador e responde à pergunta de José Hernandes (RPM 14, p.62): "E perfeitamente possível e facílimo encontrar todas as respostas de problemas como esses, usando computador". Junta um probleminha que, diz ele, tem solução única: ILRBS x A = BRASIL. - de Edmundo Capelas de Oliveira, P. G. Oliveira e A. G. Oliveira que inventaram uma história com rapto, resgate e um final feliz, envolvendo MAMAE + MANDE = GRANA, MAE + MAIS = GRANA , MANDA + MUITA = GRANA , FALTA + MUITA = GRANA , porém a história é muito grande e esta seção, muito pequena.
66. n livros, dos quais k são livros de Matemática, são colocados aleatoriamente na prateleira de uma estante. Qual é a probabilidade de que os livros de Matemática fiquem juntos? Para que valor (ou valores) de k essa probabilidade é mínima? Solução:
Existem
ao todo n! maneiras de colocarmos n livros na prateleira de
uma estante. O nosso problema é contar em quantas dessas maneiras os it
livros de Matemática permanecem juntos. Vamos observar inicialmente que,
uma vez colocado o primeiro livro de Matemática, os (k
Observe agora que p( l ) = p(n) = 1 e que
e
portanto que p(k) <
p(k +1) se, e só se,
67. Dois piratas Barba Vermelha e Barba Negra, fugindo da marinha real, se dirigiram a uma ilha com o objetivo de nela enterrar um tesouro. Na beira da praia existiam duas grandes rochas e uma palmeira solitária. Barba Vermelha dirigiu-se a uma das rochas e andou, na direção perpendicular à reta que unia a rocha à palmeira, uma distância igual à distância entre a rocha e a palmeira. Barba Negra fez a mesma coisa com relação à outra rocha e à palmeira. Em seguida eles caminharam um na direção do outro e enterraram o tesouro na metade do caminho. Dois anos mais tarde eles retornaram à ilha para desenterrar o tesouro e descobriram que a palmeira não estava mais lá. Como será possível recuperar o tesouro? Solução: Sejam R1,R2 as rochas e P um ponto qualquer distinto de Ri. Considere: • R1A, obtido pela rotação de 90°, no sentido anti-horário, de R1P; • R2B, obtido pela rotação de 90°, no sentido horário, de R2P. Sem perda de generalidade, suporemos R1R2 horizontal no plano cartesiano e R1 à esquerda de R2. Mostraremos que o ponto médio M de AB é o ponto da mediatriz do segmento R1R2 do qual dista ^ R1R2 e está no semiplano superior determinado pela reta R1R2. Invertendo as duas orientações dadas, M estará no semiplano inferior. Donde concluiremos que, se os piratas escolheram sentidos contrários, o tesouro poderá ser encontrado, cavando-se, no máximo, em dois pontos.
Sejam A', B', M', e P' as projeções ortogonais, sobre a reta R1R2, de A, B, M e P, respectivamente. Temos A'Ri = PP' = B'R2
pois,
degenerados ou não,
Além disso, A'M' = B'M', pois M é ponto médio de AB. Logo, examinando as possíveis posições de A' e B' na reta R\R2 quando P varia, podemos concluir que R1M' = R2M', portanto, M pertence à mediatriz de R1R2.
Levando
em conta que AA' = R1P' e BB' = R2P', mostraremos
que
Na fig.l, A e B , e , portanto, M, estão no semiplano superior. Neste caso
Na fig.2, A está no semiplano superior, B no inferior e AA' = R1P' > R2P' = BB'. Neste caso, temos
e M está no semiplano superior. Se P estiver " à esquerda" de R1, A estará no semiplano inferior, B no superior e BB'=R2P' > R1P' = AA' Logo, temos
e M está no semiplano superior.
Dados
agora dois pontos Pi,
i = 1,2, distintos, considere R1Ai
e R2Bi obtidos como anteriormente, porém com as
rotações no mesmo sentido. Como A1A2 e
B1B2
são paralelos e congruentes, então M1
Observação: Tantas discussões apareceram porque permitimos praias irregulares. O problema fica bem mais simples supondo a praia retilínea e a palmeira na região entre R1 e R2 mas não necessariamente na beira da praia. 68. Uma seqüência de números reais se denomina uma progressão aritmética de segunda ordem, se as diferenças entre termos sucessivos formarem uma progressão aritmética. Determine o n-ésimo termo e a soma dos n primeiros termos da P.A. de segunda ordem: 6,8, 15,27,44 ... Solução: Vamos considerar o problema geral, denotando por a1, a2, . . . os termos de uma P.A. de segunda ordem e por b1, b2 ... os termos da P.A. simples a ela associada. Segue-se da definição:
Somando
termo a termo essas n
No caso
particular do problema 6,8,15,..., temos:
b1 = 2,
r = 5 e
portanto bn-1
= 2 + (n
Para obter a soma dos n primeiros termos da P.A. de segunda ordem basta então calcularmos:
69. Três
recipientes A, B, e C têm, inicialmente, os seguintes
conteúdos: A
Solução: Chamemos de M(A) a soma dos volumes dos óleos s (soja), a (amendoim) e m (milho) no recipiente A e V(A) o seu volume total todos medidos em litros. A situação inicial é:
Como 1 litro do conteúdo de A é transferido para B a situação seguinte é:
Em seguida, 1
litro de B é
transferido para C:
Depois transfere-se 1 litro de C para B:
Finalmente, retira-se 1 litro de B que é misturado em A
Portanto, as proporções dos componentes no recipiente A são
(Solução enviada por Leonardo Pastor, São Paulo, SP)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||
AR
M2
