Eduardo Wagner

Num plano horizontal fazemos três furos em A, B e C e passamos por eles cabos (sem massa nem espessura) que são amarrados em P. Em cada uma das extremidades, A', B' e C", prendemos pesos iguais (k). Não há atrito em A, B e C, é claro.

O sistema formado pelos três pesos ficará em equilíbrio quando o seu baricentro estiver o mais baixo possível; a Mecânica nos ensina. A distância do baricentro do sistema ao plano é
 

que deve então ser máxima. Mas, como o comprimento total dos cabos é

AA' + BB' + CC + PA + PB + PC- constante ,

concluímos que na posição de equilíbrio PA + PB + PC é mínimo! Ora, em P atuam 3 forças horizontais de igual módulo com resultante nula. Isto implica que elas fazem ângulo de 120°, duas a duas.

Observações:

1. Se um dos ângulos do triângulo for maior ou igual a 120°, observaremos o sistema entrar em equilíbrio quando o nó P estiver no furo correspondente a este ângulo.

2. Suponha que A, B e C sejam colégios com populações diferentes e P seja uma praça de esportes comum. Onde deve se localizar P para que a soma das distâncias percorridas por todos os alunos desde os seus colégios até P seja mínima?

Não há solução elementar conhecida, mas a "solução mecânica"funciona maravilhosamente. Basta prender em cada fio um peso proporcional à população da respectiva escola e deixar o sistema entrar em equilíbrio.

NR  : Uma justificativa para a "resolução mecânica"pode ser feita utilizando cálculo de funções de duas variáveis. Veja o artigo a seguir.

Sérgio Rodrigues

Uma generalização natural do problema de Steiner é a procura de um ponto que minimiza a soma das distâncias a n pontos dados. Mostraremos aqui que esta busca pode ser reduzida a um conjunto de pontos especiais. O resultado apresentado dá uma justificativa para a solução mecânica do problema (vista acima).

se P Ai, para i = 1,2,... ,n.

Teorema:   Existe pelo menos um ponto P no plano que minimiza a soma das distâncias a cada um dos pontos A₁,A₂,... ,A_n e se P é um destes pontos então ( i ) ou P é um dos pontos Ai,  (ii) ou  P Ai   para  i = 1,2,... n

isto é, P é um ponto de equilíbrio das "forças"

Pelo teorema acima, se o ponto P minimiza a soma das distâncias a A₁,A₂,A₃ e não é um

(1)   Se um dos ângulos do triângulo é maior que 120°, usando argumentos de arco capaz, podemos concluir que não existe um ponto P do plano que satisfaz (1), donde, pelo Teorema, o valor de mínimo da soma é atingido em um dos vértices. Como o maior lado de um triângulo se opõe ao maior ângulo, segue que o vértice correspondente ao maior ângulo é o ponto que minimiza a soma desejada.

(2)      Se todos os ângulos do triângulo são menores que 120°, então, por argumento de arco capaz, existe um único ponto P interior ao triângulo A₁A₂A₃ que satisfaz (1). Pelo Teorema, o valor de mínimo desejado para a soma das distâncias será atingido no ponto P que satisfaz (1) ou nos vértices do triângulo.

Considere a seguinte figura:

O triângulo A₁P'A'₃ é obtido rodando-se o triângulo A₁PA₃ de 60° em torno de A₁. Por argumentos semelhantes aos utilizados no artigo Onde Morar, temos que A'₃,P', P, A₂ estão alinhados e

A'₃A₂ = A,P + A₃P + A₂P < A'₃A₁ + A₁A₂ = A₃A₁ + A₁A₂.

Com isto concluímos que o vértice Ai não é ponto de mínimo. O mesmo procedimento aplicado aos demais vértices nos leva à constatação de que o único ponto de mínimo é P.

Para o leitor familiarizado com cálculo diferencial, apresentamos um

Sejam A_i = (a_i,b_j) ,   i = 1,2,3   e  Q = (x,y) pontos do plano.  A distância de Q à A_i é

Tome a função definida no plano IR²