Poliedros de Platão Nelma Maria Duarte Pedone Rio Grande-RS Por que são assim chamados e qual a razão de serem apenas cinco os poliedros regulares? Pelo menos três dos cinco sólidos geométricos regulares (tetraedro, cubo, dodecaedro) foram estudados pelos pitagóricos e os outros dois (octaedro e icosaedro) tornaram-se conhecidos através de Teaetetus, um amigo de Platão. No entanto, freqüentemente são chamados "sólidos platônicos" devido à maneira pela qual Platão os aplicou à explicação de fenômenos científicos. Platão de Atenas foi um dos mais famosos filósofos gregos. Não se distinguiu na Matemática mas, entusiasmado pela filosofia dos números pitagóricos, incorporou-a a seu trabalho, influenciando gerações posteriores. Tornou-se conhecido como "o criador de matemáticos". A maior parte dos trabalhos de Platão sobreviveu até hoje, o que permite uma ampla visão do pensamento grego, pois Platão escreveu sobre quase todos os assuntos da época. Fundou uma Academia na qual achava-se escrito sobre a porta "Que ninguém que ignore a Geometria entre aqui". Platão acreditava que a essência da realidade era a eternidade das formas geométricas e das relações numéricas, em contraste com a transitoriedade das coisas materiais, e desenvolveu a teoria das formas ideais. O estudo da Matemática foi recomendado porque ela trata das eternas formas geométricas, tais como círculos e triângulos. As idéias pitagóricas sobre poliedros regulares foram adotadas por Pratão. Há somente cinco poliedros regulares (poliedros cujas faces são polígonos regulares congruentes e que tem ângulos iguais em todos os vértices). São os seguintes: Poliedro N.° de faces Tipo de face tetraedro 4 triângulo cubo 6 quadrado octaedro 8 triângulo dodecaedro 12 pentágono icosaedro 20 triângulo sólidos construídos com cartolina, fizermos sua planificação. Nivelando os cantos de um poliedro, a soma dos ângulos dos polígonos unidos em cada vértice será menor que 360°. Considere as possibilidades de união de polígonos regulares. É claro, necessitamos, no mínimo, de três faces unidas em cada vértice para formar um sólido. • Cada ângulo de um triângulo eqüilátero mede 60°. Teremos as seguintes possibilidades: N.° de triângulos equiláteros Soma dos ângulos Poliedros formados 3 4 5 6 180° 240° 300° 360° tetraedro octaedro icosaedro impossível • Um quadrado tem 4 ângulos de 90°, então podemos fazer a seguinte união em cada vértice (fig 2). N.° de quadrados Soma dos ângulos Poliedro formado 3 4 270° 360° cubo impossível   • Cada ângulo de um pentágono mede 108°. Deste modo, unindo três pentágonos, obtemos 324° em cada vértice e o poliedro formado é um dodecaedro (fig- 3). • Cada ângulo de um hexágono mede 120°. Juntando três hexágonos, a soma dos ângulos seria 360°, então não é possível nenhum poliedro com faces hexagonais. Similarmente não é possível nenhum poliedro com faces de 7 lados ou mais. Platão pôs suas ideias sobre os sólidos regulares num diálogo intitulado Timaeus, nome de um pitagórico, que serve como principal interlocutor. Em Timaeus, Platão estabeleceu uma teoria por meio da qual as formas geométricas básicas (triângulos) combinam para compor os elementos regulares. Lembremos que os gregos acreditavam que havia somente quatro elementos básicos: fogo, terra, ar e água. Platão relacionou os elementos com os quatro poliedros regulares da seguinte maneira: fogo — tetraedro terra — cubo ar     — octaedro água — icosaedro O fogo foi pensado ser composto de partículas em forma de tetraedro. Para incluir o quinto sólido regular (dodecaedro), Platão fê-lo símbolo do Universo. Bibliografia [1] Boyer, Cari B. História da Matemática (tradução de Elza Furtado Gomide), Editora Edgard Blilcher Ltda. [2] Gittleman, Arthur. History of Mathematics, Califórnia State University. [3] Kline, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press.   Neima Maria Duarte Pedone é professora de Álgebra Linear, Geometria Analítica e História da Matemática na Universidade do Rio Grande, RS.          Um problema: resolução & exploração Lilian Nasser IM-UFRJ      Introdução Muito se tem propagado nos últimos anos sobre a Resolução de Problemas como um método ideal para desenvolver o raciocínio e para motivar os alunos para o estudo da Matemática. O que vemos em nossas salas de aula e nos livros-texto, no entanto, são listas intermináveis de problemas, quase sempre do mesmo tipo e que podem ser resolvidos "conforme o modelo". É claro que isto não propicia o desenvolvimento do raciocínio das crianças e, ao invés de motivá-las, cria, nos estudantes, atitudes negativas em relação à Matemática. Na tentativa de reverter esta situação, o professor pode desenvolver o processo ensino-aprendizagem sob a forma de desafios e, em aulas especiais, propor problemas interessantes, que possam ser "explorados" e não apenas resolvidos. "Explorar" um problema significa procurar soluções alternativas, além da natural, e analisá-lo sob diferentes pontos de vista matemáticos. Assim, um mesmo problema pode ter uma resolução aritmética e outra algébrica ou geométrica, ou pode ser resolvido por uma estratégia (heurística), sem o uso de algoritmos ou de conhecimentos matemáticos específicos. E evidente que isso nem sempre será possível com qualquer problema e, nas primeiras séries, a "exploração" deve ser conduzida pelo professor com cuidado especial. Problemas ideais para serem "explorados" são os chamados "problemas de processo''  [ 1 ], ou seja, aqueles que não podem ser resolvidos apenas pelo uso de uma ou mais operações, mas requerem o uso de uma estratégia adequada. Além disso, depois que o aluno "compreende" realmente o problema e sua(s) resolução(ões), deve ser incentivado a explorar extensões e variações do mesmo problema, sugeridas no início pelo professor e, depois, pela própria turma.        Um exemplo Para ilustrar essa tese, vejamos como pode ser "explorado" o seguinte problema   [2]: Para construir uma janela ornamental, um operário precisa de pedaços triangulares de vidro. Ele pretende aproveitar um vidro retangular defeituoso, com 10 bolhas de ar, sendo que não há 3 bolhas alinhadas entre si, nem duas delas com algum vértice do retângulo, ou uma delas com 2 vértices do retângulo. Para evitar bolhas de ar no seu projeto final, ele decidiu cortar os pedaços triangulares com os vértices coincidindo ou com uma bolha de ar, ou com um dos cantos do vidro original. Quantos pedaços triangulares ele cortou? Inicialmente, o aluno deve entender como será cortado o vidro. É claro que isso não é imediato com 10 bolhas! A estratégia a ser usada, então, pode ser:        Resolver um problema mais simples Tentando fazer os cortes nos casos de 1 bolha, 2 bolhas, 3 bolhas,..., o aluno é levado a perceber que o número de triângulos depende do número de bolhas. Observa-se que, para o mesmo número de bolhas, há mais de uma configuração possível. Se o número de triângulos depende apenas do número de bolhas, é preciso procurar algumas propriedades para cada caso. Por exemplo, com  2  bolhas, temos: —  cada bolha é vértice de 4 triângulos. Será que em todas as configurações isso acontece? Tente outras configurações para verificar; —  cada bolha é vértice de, no mínimo, quantos triângulos? E no máximo? —  cada canto do vidro original é vértice de quantos triângulos? Tente relacionar algumas perguntas semelhantes para o caso de 3 bolhas. Depois disso, a estratégia pode continuar da forma seguinte:        Procurar uma lei de formação e generalizar Dependendo do nível dos alunos, eles percebem que uma bolha adicional gera a transformação de um triângulo em 3 novos triângulos, isto é, são criados mais dois triângulos. A partir disso, a lei de formação pode ser encontrada através da Construção de uma tabela: Número de bolhas             Número de triângulos 1 2 3 4 . . . n 10 4 6 8 10 . . . 2n + 2 22 Concluímos, então, que a lei de formação é 2n + 2, e a resposta do problema é:   22  pedaços triangulares. Solução Geométrica (a partir da 7.ª série) Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, e o número de triângulos independe da maneira como se decompõe o vidro, a soma S das medidas dos ângulos internos de todos os triângulos é 180° vezes o número de triângulos. Por outro lado,   S = 360° • 10 + 90° • 4 = 3960° Logo, o número de triângulos será:   3960° : 180° = 22.   Exploremos, agora, algumas extensões do problema: 1)     Resolva o mesmo problema com um vidro triangular. 2)     Resolva o mesmo problema com um vidro em forma de pentágono. 3)     Com n bolhas, considere o vidro original em forma de m-ágono. Você é capaz de obter uma regra geral para o número de triângulos obtidos? (Tente a solução geométrica. A resposta é  2n + m - 2.) 4)     A resposta do problema seria diferente se o vidro original tivesse a forma de um quadrilátero não regular? 5)     Que aconteceria se, no lugar de triângulos, quiséssemos cortar o vidro em forma de m-ágonos?        Observação final Para que o professor possa levar seus alunos a "explorar" os problemas, ele deve ter sempre, e não só durante a atividade de resolução de problemas, atitudes que criem neles espírito crítico e inovador. Exemplos de tais atitudes são: — dar chance aos alunos de tentar estratégias de solução por si próprios; — aproveitar as idéias dos alunos, mesmo que não levem à resposta certa (não usar apenas o certo ou errado como parâmetros de correção); — deixar que eles criem perguntas, visando à compreensão do problema (ao invés de receber respostas prontas para perguntas que não fizeram); — não mostrar soluções prontas e arrumadas, mas deixar que eles sintam todo o raciocínio desenvolvido até chegar a elas. Bibliografia [1] Charles, R. & Lester, F., Teaching Problem Solving: Whal, why and how, Dale Seymour Publications, Paio Alto, CA (1982). [2] Zimmermann, B., "From Problem Solving to Problem Finding in Mathematics Instruction", em Maíhemalics Education Research inFinland, Yearbook (1985), editado por Kupari, R., Universidade de Jyvaskyla. [3] Billstein, R., Libeskind, S. e Lott, J. W., Problem Solving Approach to Mathematics for Elentaryt School Teachers (1981).