Na RPM 3, p. 28 mostrou-se um teste de QI extremamente mal feito, que consistia no seguinte:

"Um relógio marca  8 horas e 20 minutos. Que hora marcará se trocarmos a posição do ponteiro grande com a do pequeno?"

A resposta é, logicamente, hora nenhuma. Mas isso nos leva a uma indagação: Em que situação podemos trocar a posição dos ponteiros de um relógio, e continuarmos com uma hora possível?
Para isso, façamos algumas considerações iniciais: Designemos a medida em graus do ângulo do ponteiro dos minutos com o raio que passa por 12 por _m e o do ponteiro das horas por _h ,_m ao marcarem h horas e m  minutos

Assim   _m = 6m    e   _h,_m = 30h + m/2

Temos, necessariamente

Se pudermos trocar a posição do ponteiro das horas com o dos minutos, teremos também

__________
* v. Olimpíadas, p. 61.

Demonstração:

Observação:

NR.     O ângulo entre os ponteiros

Escreve o professor Jaibis Freitas de Souza, de Salvador, BA, que um aluno seu levou à sala de aula uma fórmula para calcular o menor ângulo , que os ponteiros de um relógio fazem, entre si, quando o relógio marca h horas e m  minutos.

Carlos Gustavo Tamm de Araújo Moreira

Problema

Seja uma brincadeira de "amigo oculto", na qual n pessoas escrevem seu nome num pedaço de papel e o depositam num recipiente, de onde cada um pega aleatoriamente um dos pedaços de papel. Qual a probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome?

Solução:

Numeremos as pessoas 1,2,...,n. Um sorteio de nomes nada mais é do que uma função f: [1, 2, ...,n} [1,2.... n) bijetora, que associa a cada pessoa o seu amigo oculto.

Dizemos que x é um ponto fixo para uma função f: A A se e só se f(x) = x. Um sorteio no qual ninguém pega o seu próprio nome é, simplesmente, uma f: {1, 2......... n} {1, 2, ...,n} bijetora e desprovida de pontos fixos.

Solução 1

Solução 2

Seja f( l ) = k:.  Teremos (n 1) possibilidades para k.

Solução 3

Usaremos aqui como lema um resultado devido ao matemático português Daniel Augusto da Silva (nascido em 16-5-1814 e falecido em 6-10-1878), resultado esse que é conhecido como Teorema de da Silva, Princípio da inclusão e exclusão ou Fórmula do crivo.

Demonstração:

o cardinal de cada uma é (n k)! (pois fixam-se k pontos, permutando os  n k restantes), temos que

Conclusão:

NR: Carlos Gustavo nos enviou, posteriormente, uma carta, dizendo "... podemos notar que obtivemos três resultados de formas diferentes. Parece interessante unificar algebricamente esses resultados, para que o leitor se convença que são, de fato, iguais". E acrescentou a demonstração da igualdade das  3 soluções  que a  RPM  deixa de publicar por falta de espaço.

Eríc Bastos Campos Guedes

Vou revelar meu processo para se obter números primos.

É verdade que ele funciona, fornece números primos, mas para isso é necessário que se tenha conhecimento de uma seqüência ininterrupta de números primos a começar pelo 2, e quando esta seqüência é muito pequena há necessidade de empregarmos também o número 1. Além disso, o processo pode fornecer também o número 1, isto porque ele não é para fornecer números primos, e sim números relativamente primos com todos os números positivos inferiores ao mesmo. E o número   1   está incluído nesta lista.

Seja: 2, 3, 5, 7, 11. Manejando os números 2, 3, 5, 7 convenientemente, todos os números obtidos inferiores a  11² =  121,   serão primos.

Veja:   5 x 7 + 2 x 3 = 41,  41 < 11²,  logo  41   é primo.

Observe que foram formados 2 produtos cujo MDC é  1, e em que entram todos os números primos entre  2  e  7  inclusive.

Poderíamos também ter feito:

5² x 3 - 2 x 7 = 61,   61 < 11²,   logo  61   é primo

5² x 3 é primo com 2 x 7 e o produto desses 2 números tem todos os fatores primos entre  2  e  7  inclusive. Ou ainda:

2 x 5 x 7 + 3 = 73  ou  2 x 5 x 7-3 = 67

Conjecturo ainda que se tomarmos a seqüência  1, 2, 3,  poderemos obter todos os números primos aos poucos, assim:

assim nossa seqüência é aumentada em  2 termos: 1, 2, 3, 5, 7.

nossa sequência é aumentada em   11   termos

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

E assim por diante.

Não é difícil ver que este método para se obter números primos está baseado fundamentalmente em 2  fatos:

• Sejam a e b números primos entre si, se fizermos  p = a + b  ou p - a - b, teremos de qualquer forma os números ab e p primos entre si.

• Sendo p e q números primos consecutivos, p < q, se n IN e n < q², então ou n é um número composto de fatores primos dentre os quais figura um número primo positivo menor ou igual a p ou n é um número primo.