Alguns leitores desta secção têm reclamado que a RPM publica poucos problemas de Olimpíadas Internacionais e Brasileiras e nunca a prova completa.
Atendemos, hoje, estes leitores e talvez outros, silenciosos, porém interessados:

1. Determine todas as ternas de números reais que satisfazem ao seguinte sistema de equações:

3. Sejam a, b, c, as medidas dos lados de um triângulo. Prove que:

4. A circunferência inscrita no triângulo ABC é tangente aos lados AC e BC nos pontos M e N respectivamente. As bissetrizes de A  e B interceptam  MN nos pontos P e  Q respectivamente. Seja O o incentro do triângulo ABC.

5. Seja f a função definida em {1; 2; 3; ...} por:

f( l ) = 1;  f(2n +  1) = f(2) +  1;  f(2n) = 3f(n)

Determine o conjunto de valores que f assume.

6.  Mostre que há uma infinidade de pares de números naturais que satisfazem à equação:

2x² 3x 3y² y +  1 = 0

 

Tempo:  4,5 horas

Cada problema vale   10 pontos.

Equipe Brasileira:   Carlos Gustavo Tamm de Araújo Moreira
Marcus André de Carvalho Torres Ambos ganharam uma medalha de ouro

1. Demonstre que o conjunto   {1;2;3;....;1989} pode expressar-se como reunião de 117 subconjuntos A₁; A₂; A₃; ...; A₁₁₇,  disjuntos, tais que:

•   cada A_i tem   17 elementos.

•   S₁= S₂ = ... = S₁₁₇, onde S, é a soma dos elementos de A_i.

2. Seja ABC um triângulo acutângulo. Suas bissectrizes internas intersectam o circuncírculo de ABC em A₁,B₁ e C₁  respectivamente.  A₀ è o ponto de intersecção de A A₁ com as bissectrizes dos ângulos externos B e C . B₀ e C₀ são definidos analogamente.

Prove que:

área do triângulo A₀B₀C₀ = 2 x área do hexágono AC₁BA₁CB_l. área do triângulo A₀B₀C₀   4 x área do triângulo ABC.

3. Sejam k e n números naturais, e S um conjunto de n pontos de um plano, tais que:
não há três pontos alinhados em S; para cada ponto   P  de   S  há, pelo menos,  k pontos de S, eqüidistantes de  P.

Prove:

4. No quadrilátero convexo ABCD, os lados AB, AD e BC satisfazem a AB = AD + BC e há um ponto P, interior, à distância h reta CD, tal que AP = h + AD e BP h + BC. Prove que:

5.     Para cada natural n, prove que há n naturais consecutivos, nenhum dos quais é potência inteira de um número primo.

6.     Para cada natural n, não nulo, diz-se que uma permutação de {l;2;3;...;2n} tem a

Prove que, para cada natural n, não nulo, há mais permutações com a propriedade  P do que sem ela.

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Cada questão vale 7 pontos

Equipe Brasileira: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira; Marcus André de Carvalho Torres; Edson Roberto Abe; Shauy Hsu Pin; Alexandre Xavier Iwata de Carvalho; Tadeu Alexandre de Albuquerque e Silva; Os três primeiros foram premiados com medalhas de bronze.