Seria fácil responder à pergunta do título se o ano tivesse exatamente 364 dias. Como 364 é divisível por 7, ano após ano, os mesmos dias do mês cairiam nos mesmos dias da semana.

Um ano, porém, tem, aproximadamente, 365,25 dias. Este é o motivo por que, adotando 365 como o número de dias de um ano, a cada 4 anos é necessário fazer uma correção através de um ano bissexto, de  366 dias.

Mas esta correção ainda não é suficiente pois, para manter o calendário em sincronia com as estações do ano, este deveria ter 365,242199 dias. Por este motivo, o papa Gregório XIII, em 1582, promulgou o calendário gregoriano, ainda em uso nos dias de hoje, onde os anos bissextos são assim caracterizados

anos bissextos são os correspondentes a números divisíveis por 4 mas não
por 100,   exceto os divisíveis por 400,   estes, também, bissextos.

Daremos inicialmente a regra prática que permite determinar o dia da semana de qualquer data entre 01/01/1800 e 31/12/2100. Na segunda parte do artigo justificaremos esta regra.

Usaremos uma tabela em que a cada mês corresponde um número. Para os anos bissextos serão usados os números entre parênteses.

Um outra tabela associará os dias da semana com os números inteiros de a  6:

1.° caso: datas de 01/01/1900 a 31/12/1999

Vamos determinar a soma A + B + C + D,  onde
A   é o número formado pelos dois últimos algarismos do ano dado.
B é a parte inteira do quociente da divisão de A   por 4.
C é o dia do mês dado.
D é o número da primeira tabela correspondente ao mês dado.
Em seguida dividimos A + B + C + D por 7, achando um resto inteiro entre 0 e 6.  A segunda tabela mostra como associar o resto com o dia da semana.

Exemplo:   18  de outubro de   1956

Temos: A = 56
B = 14 (quociente de  56 por 4)
C = 18
D =    1 (correspondente a outubro)
      
         5  12    Logo, a data foi uma quinta-feira.

2.° caso: datas de 01/01/2000 a  31/12/2099

Acrescentamos 6 à soma definida no 1.° caso. O restante do processo é o mesmo. Por exemplo:   20 de fevereiro de  2040

            A = 40
            B =  10
            C = 20
            D =   3 (corresponde a fevereiro em ano bissexto)
acréscimo =  6
                  
                     2 11     A data será, portanto, uma segunda-feira.

3.° caso: datas de 01/01/1800  a  31/12/1899

Agora acrescentamos  2  à soma definida no 1.° caso.

Exemplo:   7 de setembro de   1822

            A = 22
            B =    5 (quociente na divisão de  22  por 4)
           C =    7
           D =    6
acréscimo =  2
                 
                    0  6    Logo, a proclamação da Independência do Brasil ocorreu num sábado.

Vamos nos limitar a uma justificativa para o período de 01/01/1900 a 31/12/1999, pois, adotando roteiro análogo, poderá o leitor completar as lacunas que permanecerem e assim desfrutar um agradável entretenimento aritmético.

No que segue, usaremos sempre as letras A, B, C e D como foram definidas acima.

Vejamos a tabela dos meses:

Janeiro

Usando a regra prática, descobriremos que o dia 1 de janeiro de 1900 caiu numa segunda-feira. Este é um fato que será usado para a construção da tabela.

Ao dia 1, portanto, está associado o número 2 (de 2af.), o mesmo acontecendo com os dias 8,15,22 e 29, todos do tipo 7k + 1. Isto é, se o dia do mês for do tipo

          7k + 1,   a ele estará associado o número  2 (1 + 1),
Analogamente, se o dia for do tipo
          7k 4- 2,   a ele estará associado o número   3 (2 +  1),
          7k + 3,   a ele estará associado o número  4 (3 + 1),
          7k + 6,  a ele estará associado o número 0 (sábado)
          7k + 0,   a ele estará associado o número   1 (domingo)

Uma possível regra prática para janeiro de   1900  seria: divida o dia do mês por 7  e acrescente  1  ao resto da divisão, ou, o que é mais simples: some  1  ao dia do mês — o resto da divisão por  7 (do resultado) dará o dia da semana. Esta é a razão do   1   ao lado de janeiro.

Fevereiro

Observe que do dia 01/01   a 28/01  existem 4 semanas completas, sobrando ainda  3  dias de janeiro (os dias  29, 30  e  31). Portanto à data  C de fevereiro de  1900 devemos somar  1+3 (1 que já vem de janeiro, mais  3  por causa dos dias  29, 30 e 31)  e dividir o resultado por  7  para que o resto da divisão dê o dia da semana.

(Observe: 31/01 — 31  +  1  =32 = 4x7 + 4 — 4af.
                01/02 —1 + 1+3 = 5                    — 5af.)

Isto explica o porquê da parcela  4  ao lado de fevereiro.

Março

Fevereiro tem  4  semanas completas (em anos não bissextos). Portanto a mesma regra de fevereiro de  1900 serve para março de 1900: some 4 ao dia  C de março de  1900 e divida o resultado por  7.

Abril

Março tem   31   dias, isto é,   4  semanas completas mais  3  dias.
À data  C de abril de   1900 deve-se somar a parcela 4 + 3(4,  que já vinha de março, e mais  3,   por causa dos dias  29, 30 e  31 de março).
Mas o resto da divisão de C + 7  por 7  é igual ao resto da divisão de C por  7.
Daí, o  0  na tabela, ao lado de abril.

Maio

Abril tem  30 dias,   isto é,   4 semanas  mais  2 dias.
Basta somar 2 a cada dia C de maio de  1900 e dividir o resultado por 7.
O resto dará o dia da semana.
Esta é a razão do  2  ao lado de maio.

Junho

Maio tem  4 semanas  e mais  3 dias.
Ao dia C de junho de  1900 devemos somar 2 + 3 (2 é a parcela que vinha de maio e  3,  por causa dos dias  29, 30  e  31 de maio).
Isto explica o   5   ao lado de junho.
O leitor saberá justificar, para  1900, os números ao lado dos outros meses.
Seja agora um ano N, não bissexto, entre 1900 e 2000, cujos dois últimos algarismos formem o número  A.
Entre 1 de janeiro de 1900 e 1 de janeiro do ano N, transcorreram A anos, sendo B (parte inteira do quociente de A por 4) o número de anos bissextos. A quantidade de dias nesse período foi

366 B + 365 (A - B) = 365 A + B = 364 A + A + B

Já que 364 A é divisível por 7, o resto da divisão de 365 A + B por 7 é igual ao resto da divisão de A + B por 7. Para determinarmos o dia da semana em que caiu um dia C de um mês qualquer do ano N, basta encontrar o resto da divisão por   7   da soma  A + B + C + D.
Suponhamos agora o ano  N,  bissexto.
Entre 1 de janeiro de 1900 e 1 de janeiro do ano N, transcorreram A anos dos quais B- 1 foram bissextos. A quantidade de dias nesse período foi:

366 (B - 1) + 365 [A - (B - 1)] = 365 A + B - 1 = 364 A + A + B - 1

O resto da divisão deste número por 7 é igual ao resto da divisão de A + B - 1 por 7. Assim, para localizarmos o dia da semana em que caiu um dia C de janeiro ou fevereiro do ano N, basta achar o resto da divisão por 7 da soma A + B + C + D- 1. Esta é a razão dos números entre parênteses, ao lado de janeiro e fevereiro, na tabela dos meses.

Se a data C não pertencer a janeiro ou fevereiro, será necessário calcular o resto da divisão por 7 do número (A + B - 1) + (C + D + 1), sendo o acréscimo 1 devido ao fato de fevereiro ter um dia a mais em um ano bissexto. Mas,

Portanto, para meses diferentes de janeiro e fevereiro a tabela não sofrerá qualquer alteração.

Queremos ainda mencionar que, embora tenhamos apresentado um método válido para o período de 01/01/1800 a 31/12/2099, o leitor poderá com algumas modificações necessárias localizar dias da semana para outros períodos de tempo.

Bibliografia

[1] Enciclopédia Brasileira Globo, 21? edição, Editora Globo, vol. 3, (1984).
[2] História do Calendário, Série Prisma-Brasil, 2.° edição, Editora da Universidade de São Paulo (1978).
[3] Enciclopédia Britânica, verbete: calendário.