Na RPM 10, p. 23, no artigo "Voltando a falar sobre dízimas", de Elon Lages Lima, encontram-se resultados que permitem calcular o número de algarismos do período de uma dízima periódica simples. O artigo nos conta, por exemplo, que   1/23  é uma dízima cujo período tem  22  algarismos.

A RPM recebeu, recentemente, um artigo do colega José Roosevelt Dias, ensinando como uma calculadora simples nos permite obter, rapidamente, esses 22 algarismos e, em geral, os primeiros algarismos (20, 30, 40, ..., quantos quisermos) da expansão decimal de   1/n,   n  inteiro, diferente de zero.

Extraímos do artigo as principais idéias.

As calculadoras simples têm um visor para 8 dígitos, o que permitirá obter, cada vez que usarmos a calculadora, 7 dígitos da expansão decimal de 1/n.
Há um só pré-requisito: é necessário saber calcular os restos da divisão de 10⁷, 10¹⁴, 10²¹, 10²⁸, ... pelo número n. (Através de "congruência" isto fica fácil — veja RPM 10, p. 40.)
Ilustraremos o processo, calculando o período da dízima periódica 1/23:

1)    a calculadora nos diz que 1/23 = 0,0434782 e temos aí os 7 primeiros algarismos da expansão decimal de 1/23;

2)    a resto da divisão de 10⁷ por 23 é 14 (10⁷ = 14 (mod 23)) e a calculadora nos diz que 14/23 = 0,6086956.
Estes são os 7 algarismos seguintes da expansão de 1/23:
1/23 = 0,0434782 6086956;

3)    a resto da divisão de 10¹⁴ por 23 é 12 (10¹⁴ = 12 (mod 23)) e a calculadora nos diz que 12/23 0,5217391.
Estes são mais 7 algarismos da expansão de 1/23:
1/23 = 0,0434782 6086956 5217391;
Está faltando apenas um dígito, por isso vamos continuar:

4)    a resto da divisão de 10²¹ por 23 é 7 (10²¹ = 7 (mod 23)) e a calculadora nos diz que 1/23 = 0,3043478. (Observe o período reaparecendo.) Estes são mais 7 algarismos da expansão de 1/23:

1/23 = 0,0434782 6086956 5217391 3043478, isto é,
1/23 = 0,0434782608695652173913

O prof. José Roosevelt Dias inspirou-se nas dízimas periódicas simples para as quais podemos calcular o número de algarismos do período, mas o processo por ele descrito estende-se para qualquer fração 1/n, n inteiro, diferente de zero e baseia-se, exclusivamente, no algoritmo da divisão. O exemplo usado pelo colega foi

Justificativa
Usaremos o próprio exemplo para justificar o processo:

Vamos multiplicar a igualdade e a desigualdade por 23 x 10⁷:
10⁷ = 434782 x 23 + a x 23 x 10⁷ com 0 a x 23 x 10⁷ < 23
Estas duas expressões mostram que a x 23 x 10⁷ é o resto da divisão de 10⁷ por 23. Este
resto foi calculado: é 14.
Portanto, a x 23 x 10⁷ = 14, o que nos dá:

Substituindo em (1):

Após multiplicar a igualdade e a desigualdade por  23 x 10¹⁴,   repetimos o argumento acima:

10¹⁴ = 4347826086956 x 23 + b x 23 x 10⁷  com  0 b x 23 x 10⁷ < 23

Portanto b x  23 x  10⁷ é o resto da divisão de 10¹⁴ por 23,  isto   é

Daí  b = (0,5217391  +   c)   x  10^-7 = 5217391  x  10^-14 +  c x  10⁷

Substituindo em  (2):

= 0,0434782 6086956 5217331 + c x  10^-14  com  0 c x  10^-14 < 10^-21

e assim por diante.