Meu irmão estava jogando dominó com alguns amigos, quando um deles "fechou" o jogo. Encerrado assim, sem ninguém "bater", cada dupla contou seus pontos (a soma dos números das pedras que sobraram). Um jogador disse "22" e outro falou "15", Aí um amigo de meu irmão protestou:

— Não pode! Se o jogo foi fechado e uma dupla tem um número par de pontos, a outra também tem. Ou então as duas têm números ímpares de pontos.

De fato, analisando o jogo, descobriram um "gato": uma pedra colocada erroneamente, lá no meio.

Meu irmão ficou curioso. Por que a paridade das somas de pontos tinha de ser a mesma? Seu amigo lhe deu uma resposta que não o convenceu — jogava há anos dominó e sempre fora assim.

O que segue é uma explicação que encontrei para esta dúvida.

O dominó é um jogo formado por 28 peças, como as da figura:

Nelas aparecem todas as combinações possíveis dos números de 0 a 6, dois a dois, inclusive com repetição. Cada número aparece  8 vezes.

Creio que todos os leitores conhecem as regras do jogo.

Um exemplo de jogo fechado é o seguinte:

Este jogo se diz "fechado" porque todas as pedras que contêm o "3" já estão na mesa e, em conseqüência, ninguém mais tem como jogar.

Em um jogo fechado, os números nas duas extremidades são iguais. De fato, todos os números, salvo os das pontas, aparecem aos pares, pela própria regra do jogo. Portanto, um jogo fechado que começa com 3, por exemplo, terá 6 ocorrências do 3 "internamente" e o último 3 disponível terá que estar, necessariamente, na outra ponta.

Como conseqüência, a soma de todos os números, (na mesa), em um jogo fechado, será par.

Observando que a soma total dos pontos em um jogo de dominós é S=8(0+1+2+3+4+5+6) e, portanto, par, vê-se que, em um jogo fechado, sobra, ao todo, um número par de pontos nas mãos das duas equipes adversárias.

Isto significa que cada uma das equipes terá um número par de pontos (dando uma soma par) ou cada uma das equipes terá um número ímpar de pontos (dando também uma soma par). O que não pode acontecer é que a soma dos pontos de uma equipe seja par e da outra, ímpar, pois, neste caso, a soma total seria ímpar, o que, já vimos, não pode acontecer.

Com uma definição adicional, podemos tirar mais uma conclusão. Definição. Uma pedra é ímpar quando a soma de seus números for ímpar.

Por exemplo,     3 : 2 |   é uma pedra ímpar.

Conclusão. Em um jogo fechado, a quantidade de pedras ímpares, na mesa, é par.

De fato, já vimos que em um jogo fechado, a soma dos pontos, na mesa, é par. Ora, uma soma par deve ter um número par de parcelas ímpares.

A RPM recebeu do colega Alexandre Kleis uma carta e um jornalzinho. Transcrevemos, abaixo, trechos da carta e um recorte do jornal:

"...

Sou professor de Matemática no Colégio Pitágoras Equador, uma unidade avançada da sede (de Belo Horizonte), aqui em Patuca, oriente equatoriano. Estamos acompanhando a Construtora Andrade Gutierrez, que constrói uma estrada nesta região... cortando uma vertente dos Andes e adentrando na Amazônia.

Nosso colégio é pequeno: 150 alunos, dos quais apenas 35 estão na 5.ª série em diante. É muito gostoso. Seguimos o programa escolar brasileiro, mas agregamos ao currículo Espanhol e Estudos Sociais do Equador.

Este mês (maio de 88) a 7.ª série lançou um jornalzinho, o "Pitágoras 5. Nele publiquei um artigo onde descrevo um "caso matemático" ocorrido comigo.

É bom mostrar aos meninos que a Matemática está por aí, não?

..............."

Quem já leu Agatha Christie, deve achar estranho que, onde quer que vá Hercule Poirot — a uma praia na Riviera francesa, a um cruzeiro pelo Caribe ou à casa de campo de um "lord" amigo — sempre ocorre um crime para ele desvendar.

Pois comigo ocorre algo parecido. Vejamos.

Um dia desses, fui à lojinha de D. Salete e ela estava às voltas com ... um probleminha! O problema era mais ou menos o seguinte.

Certos artigos haviam sido comprados em Méndez por um preço e estavam à venda com 10% de acréscimo. D. Salete, no entanto, se esquecera por quanto comprara esses artigos e queria descobrir o preço inicial deles (isto é, antes do acréscimo de 10%).

D. Tânia veio de sua "peluquería" e começamos a discutir a situação.

(Abro um parênteses aqui: é freqüente, em Matemática, conseguir-se resolver um problema a princípio difícil se se sabe resolver o problema inverso, mais fácil.)

Baseado nisso, perguntei às duas senhoras:

— Se um artigo custava S/.200 e sofreu um acréscimo de 10%, por quanto será vendido?

Ora, seu preço original equivale a 100%; com o acréscimo de 10%, passou a 110%. Como

1,10 x 200 = 220.                                                     

Então, resumindo: para calcular o preço com acréscimo, basta multiplicar-se o preço original por 1,10. Logo, para se calcular o preço original, divide-se o preço com acréscimo por 1,10. (Este é o problema inverso!)

Por exemplo: um artigo à venda por S/. 594 fora comprado por   594 : 1,10 = S/. 540.

Gostaram? Outro dia conto outra.

Professor Alexandre Kleis