Perguntas devem ser enviadas para RPM — O Leitor Pergunta Caixa Postal 20570 01498 São Paulo - SP        Os dominós e o tabuleiro de damas Uma colega de Carabuçu, RJ, nos envia o seguinte problema: "Suponha que você tem um tabuleiro para jogo de damas e pedras de dominó. O tamanho do dominó é tal que cada pedra cobre dois quadrados do tabuleiro. De que maneira você colocaria os dominós no tabuleiro de modo que todo ele ficasse coberto, com exceção dos dois quadrados de cantos opostos?" RPM: Esse problema encontra-se na p. 43 do livro Matemática, Curso Ginasial, Volume I, texto organizado pelo School Mathematics Study Group, Edart Livraria e Editora, São Paulo 1967 e também na p. 3 do livro Introductory Combinatorics, Richard A. Brualdi, North Holland, 1977. O tabuleiro tem 32 quadrados brancos e 32 quadrados pretos. Uma peça de dominó cobre sempre um quadrado preto e um quadrado branco. É, portanto, impossível cobrir 30 quadrados brancos e 32 quadrados pretos com peças de dominó como o problema propõe. Portanto, o problema não tem solução.          A diagonal do pentágono convexo regular Um colega de Pirassununga, SP, nos envia o seguinte problema: "Calcular o comprimento da diagonal do pentágono convexo regular de lado  " RPM: 1) Considere o pentágono convexo regular (portanto, inscritível)  ABCDE O quadrilátero ABCD é inscritível. O teorema de Ptolomeu afirma que "em todo quadrilátero convexo inscritível a soma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das diagonais."   2) A prova do teorema de Ptolomeu é a seguinte: Consideremos um quadrilátero inscritível convexo  ABCD. Temos ADB = ACB  (ângulos inscritos no mesmo círculo que subtendem o mesmo arco). Marque E sobre BD de modo que BÂE = CÂD. Os triângulos ABE e   ACD são semelhantes (pois ABD = = A CD — ângulos inscritos no mesmo círculo que subtendem o mesmo arco). Os triângulos ABC e A DE são semelhantes (os ângulos em   A   são iguais).          A introdução da noção de número irracional. Um colega de S. Leopoldo, RS, nos propõe a seguinte questão: "Para explicarmos o que são os chamados números irracionais (na 7.ª série do 1.° grau) é indispensável que o aluno conheça o algoritmo de extração da raiz quadrada? Não podemos dar exemplos de números irracionais a partir de uma fração ordinária que, transformada numa fração decimal, apresente infinitos algarismos decimais não periódicos? Sempre uma fração ordinária representada sob forma decimal apresentará periodicidade? Até que ponto é válido determinarmos experimentalmente o valor de ir como a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro?" RPM: 1) Julgamos que não é indispensável que o aluno conheça o algoritmo de extração da raiz quadrada, por dois motivos: i) mesmo conhecendo o algoritmo e usando-o para calcular , não podemos, desta maneira, provar que não é uma dízima periódica, já que nunca chegaremos ao fim da conta. O argumento clássico para provar a irracionalidade de    é: Este argumento mostra que é irracional — mas, será que está ao alcance de alunos de 7.ª série? ii) podemos contar que números do tipo 0,10 100 1.000 1 0000 1..... são irracionais, pois não existe periodicidade na sua notação decimal. É fácil inventar exemplos "obviamente" não periódicos.   2) Quanto a exemplos de números irracionais a partir de frações ordinárias, a resposta também é não. 5,11,6,8... todos menores que  13. Após, no máximo, 12 divisões, um dos restos que já havia aparecido, aparecerá de novo, e aí começa a repetição:   nessa divisão são: 0, 1, 2, ..., q — 1. Se o resto for zero, o processo pára e teremos uma decimal "exata". Caso contrário, após no máximo q— 1 divisões, o processo se repetirá dando origem à dízima. Em suma, toda fração ordinária dá origem a uma decimal "exata" ou a uma dízima periódica. 3) Finalmente, julgamos válida a determinação experimental do valor de *, chamando a atenção que a "experiência" dá valores aproximados de ir. A RPM 6, p. 18, traz informações interessantes sobre  ir.  Neste número, voltamos a discutir o número  ir,  à p. 29.

Respostas dos probleminhas (p. 61) 1.     9 567 + 1 085 =  10 652  (solução única) 2.     o problema não tem solução (o autor diz que é mais fácil do que parece) 3.   o autor mandou 20 soluções (há mais do que 20?) 4.   48 596 + 492 487 = 541 083   ou   42 596 + 498 427 = 541 023   (Jakubo) 5.   15 965 + 57 680 = 73 645 (Ana Paula Ferreira, Márcia Cristina Fava, Silvana Tamie Matsuno e Wagner Raszea, a pedido da  RPM  forneceram algumas soluções.) 6.      4 236 + 9 576 =  13 812 (Jakubo obteve 16 soluções) 7.      526 485 + 197 485 = 723 970 (solução enviada pelo autor) 8.      21 729 + 9 139 = 30 868   9.    27 569 + 8 135 = 35704 10.  422 = 1 764   (soluções enviadas pelo autor)