66.       n livros, dos quais k são livros de Matemática, são colocados aleatoriamente na prateleira de uma estante. Qual é a probabilidade de que os livros de Matemática fiquem juntos? Para que valor (ou valores) de k essa probabilidade é mínima?  (Enviado por Zoárd A. L. Geòcze, Viçosa, MG.)
 

67.       Dois piratas Barba Vermelha e Barba Negra, fugindo da marinha real, se dirigiram a uma ilha com o objetivo de nela enterrar um tesouro. Na beira da praia existiam duas grandes rochas e uma palmeira solitária. Barba Vermelha dirigiu-se a uma das rochas e andou, na direção perpendicular à reta que unia a rocha à palmeira, uma distância igual a distância entre a rocha e a palmeira. Barba Negra fez a mesma coisa com relação à outra rocha e à palmeira. Em seguida eles caminharam um na direção do outro e enterraram o tesouro na metade do caminho. Dois anos mais tarde eles retornaram à ilha para desenterrar o tesouro e descobriram que a palmeira não estava mais lá. Como será possível recuperar o tesouro? (Enviado por Maria Ignes de S. V. Diniz, São Paulo, SP.)
 

68.       Uma seqüência de números reais se denomina uma progressão aritmética de segunda ordem, se as diferenças entre termos sucessivos formarem uma progressão aritmética. Determine o n-ésimo termo e a soma dos n primeiros termos da P. A. de 2.ª ordem: 6,8,15,27,44 ...
 

69.       Três recipientes A, B e C têm, inicialmente, os seguintes conteúdos:
A — 2 litros de óleo de soja

B — 3 litros de óleo de amendoim

C — 4 litros de óleo de milho

Passamos um litro do recipiente A para B.  Depois de convenientemente misturado, passamos um litro de B para C.  Mistura-se novamente e em seguida passamos um litro de C para B. Finalmente um litro é retirado de B e misturado ao conteúdo de A. Qual é a porcentagem de cada tipo de óleo no recipiente A, após completada a operação acima? (Enviado por José Hernandes, S.J. do Rio Preto, SP.)

Escreve-nos José Jakubovic, São Paulo, SP:

"É conhecido o problema do inglês que enviou a mensagem e recebeu, pelo correio, a quantia pedida.

+

send MORE MONEY

(1)

O destinatário, sabendo que cada letra representava um algarismo e que letras diferentes eram algarismos diferentes, pôde descobrir quanto "money" devia mandar, (v.   RPM 2, p. 32.)

Um brasileiro enviou esta:

+

MANDE MAIS GRANA

(2)

e não recebeu nada pelo correio. Justifique, com argumentos matemáticos, porque o brasileiro não recebeu dinheiro.

Após algumas semanas, o brasileiro tentou de novo:

+

ENVIE MAIS GRANA

(3)

E, novamente, não recebeu nada. Justifique matematicamente este fato."

Probleminhas desta natureza são antigos. Os que seguem foram copiados de uma edição de 1943 do livro Diabruras da Matemática, de Melo e Souza (Malba Tahan), Editora Getúlio Costa.

+	RATOS	+ (4)	MARIA	+ (5)	DOIS	(6)
	ROERAM		ALICE		TRÊS
	TRIGAL		LUIZA		CINCO

Sebastião Alves da Silveira, Formiga, MG, enviou este:

+	DONALD	(7) dado que  D = 5
	GERALD
	ROBERT

José Hernandes, São José do Rio Preto, SP, enviou o que, em classe, ele chama de "esquenta-miolo":

+	RATOS	+ (4)	MARIA	(5)	{	(EU)2 = VOCE E + U = C	(10)
	ROERAM		ALICE
	TRIGAL		LUIZA

(com CINCO ímpar)

Pergunta-nos José Hernandes: É possível, em problemas como estes, encontrar todas as soluções, com auxílio de um computador?

(A  RPM   aguardará respostas dos leitores.)

Também a  RPM   faz uma pergunta:

O 1.° problema "send more money" tem duas características que o tornam mais interessante do que os outros:

—  ele tem solução única (sem condições adicionais);

—  a sentença, em si, é significativa: procura-se um número, que é a quantia de dinheiro a ser enviada (compare com "ratos roeram trigal", que é apenas um jogo de palavras).

Será que algum leitor conhece, ou quer inventar, um problema como os acima, em português, com solução única e enunciado pertinente?

(Ver respostas na seção "O leitor pergunta")

58) Com a finalidade de aumentar a arrecadação do seu Sistema de Loterias, a Caixa Econômica Federal implantou um novo jogo, denominado Loto II, no qual o apostador escolhe seis dezenas no conjunto (01, 02, ..., 50). Semanalmente a Caixa sorteia seis dezenas desse mesmo con­junto e são atribuídos prêmios aos acertadores da: i) Sena — as seis dezenas sorteadas; ii) Sena anterior e posterior — conjunto dos seis números imediatamente anteriores ou imediatamente posteriores às seis dezenas sorteadas; iii) Quina — cinco das seis dezenas sorteadas; iv) Quadra— quatro das seis dezenas sorteadas. (Para o prêmio descrito em ii, 50 e 01 são considerados consecutivos.) Compare as probabilidades de que um apostador que joga seis dezenas em cada um dos tipos de Loto não saia perdendo, isto é, ganhe algum dos prêmios oferecidos.

Solução:

Vamos considerar, inicialmente, a loto tradicional, na qual 5 números são escolhidos ao acaso no conjunto dos   100 primeiros números naturais. Portanto, cada sorteio da loto admite

ganhe o prêmio do terno è necessário que  3  das  5  dezenas sorteadas sejam escolhidas no conjunto das  6 dezenas apostadas e as outras duas entre as  94  dezenas restantes.

quais o nosso apostador ganhará, respectivamente, os prêmios da quadra e da quina. Segue-se portanto, que a probabilidade de que um apostador, que joga 6 dezenas, ganhe pelo menos um prêmio na Loto tradicional, vale:

No jogo da Loto II,  6 números são escolhidos ao acaso no conjunto dos  50 primeiros possíveis.

Um raciocínio análogo ao que foi feito acima nos permite afirmar que:

c)   Para uma das 3 senas existe um e um só resultado que dará o prêmio ao nosso apostador.
Portanto a probabilidade de que, jogando 6 dezenas, ele ganhe pelo menos um, na Loto II, vale:

Comparando os dois resultados obtidos podemos concluir que o apostador, que joga 6 dezenas na Loto tradicional, tem uma chance maior de ganhar um dos prêmios oferecidos do que um outro jogador que faz a mesma aposta na Loto II. (Solução enviada por José Hernandes, S.J. do Rio Preto, SP.)

59. Dado um A ABC de lados AB = 10, AC = 9 e BC = 6, seja P um ponto qualquer interior ao triângulo e sejam M e N os pés das perpendiculares traçadas de A às retas BC e PB, respectivamente. Verifique se existe algum ponto P, interior ao triângulo, para o qual o comprimento  MN seja máximo.

Solução:

O ponto  M é interior ao lado  BC já que o triângulo é acutângulo  (10² < 9¹ + 6²).

Quando P varia no interior do    A ABC, N percorre todo o interior do arco AQM contido na circunferência de diâmetro AB.

É fácil perceber que o comprimento MN cresce, tendendo ao de AM quando P se aproxima

onde   k   é uma constante e   a   percorre todo o intervalo   ]O, B[   quando P varia no interior seu valor máximo.

Observe-se, entretanto, que deixando P variar em todo o plano, o valor máximo é atingido e é igual a   10.  (Adaptada de soluções recebidas de vários leitores.)

60.  a) Determine as condições que devam ser satisfeitas pelo número natural n, para que 2ⁿ 1
seja divisível por  7.

b) Mostre que não existe nenhum número natural n para o qual 2ⁿ + 1  seja divisível por 7.
 

Solução:

Sendo n um número natural,  n = 3a + r com 0 r 2.

a)  Como  2ⁿ   1 = 2^{r .} 2^3a   1 = 2^r (2^3a 1) + 2^r 1 e  2^3a 1 = (2³ - 1) • (2^3(a-1) + ... + 2³ + 1) tem-se que 2" - 1  é múltiplo de  7  se, e somente se,  2^r 1   o for. Mas  2^r - 1   é divisível por  7  apenas quando  r = 0. Portanto, 2^r 1  é divisível por 7  se, e somente se,  n é múltiplo de 3.

b) Como 2ⁿ + 1 = 2^{3a .} 2^r + 1 = 2^r (2^3a - 1) + 2^r  + 1,  2^3a 1  é divisível por 7 e os possíveis valores de  2^r + 1   são  2, 3   e   5,   segue que  2ⁿ  +  1   nunca é múltiplo de  7.
(Solução enviada por Trajano Nóbrega Neto, São Paulo, SP.

61.  Numa reunião, um indivíduo se gabava de haver descoberto um número natural que possuía
a seguinte propriedade: para escrever o número e seu quadrado, usam-se somente os algarismos de  1  a 9 e, cada um deles, uma única vez. Um matemático presente à reunião pensou um pouco, fez alguns cálculos e anunciou que existiam dois números naturais que satisfaziam as condições propostas. Você é capaz de descobri-los? (É claro que a nossa intenção não é que você comece a calcular os quadrados de números naturais até encontrar os números procurados. O que se quer é que você, usando as hipóteses e propriedades elementares da Teoria dos Números, consiga reduzir ao mínimo o número de cálculos necessários para a determinação desses números.)
 

Solução:

Vamos observar inicialmente que o número procurado, x, tem necessariamente 3 algarismos e o seu quadrado,  6.   Das condições do problema segue-se também que:

123 456 x² 987 654    e portanto que:    351 < x < 994                   (1)

Por outro lado, a soma dos algarismos de x mais a soma dos algarismos de x² è igual à soma dos nove primeiros números naturais, que é 45 e portanto um múltiplo de 9. Segue-se então que:

x + x² = 0 (mod 9)   ou equivalentemente:    x(x +  1) = 0 (mod 9)
 

Como dois números consecutivos não podem ser ambos múltiplos de 3 segue-se x = 0 (mod 9) ou x = 8 (mod 9). Esta condição, juntamente com a restrição (1), reduz a nossa procura a um conjunto de 142 elementos, que se inicia com o n? 359 e termina com o número 990. Esse conjunto pode ser bastante reduzido com a utilização das observações que faremos a seguir:

1)     O problema afirma que o número não contém zeros nem algarismos repetidos.

2)     O número procurado não pode terminar em   1,5  ou  6.

3)     O algarismo das unidades do quadrada do algarismo das unidades de x não pode pertencer
a x.  Assim, por exemplo se x termina em  4  ele não pode conter um  6.

4)     Se   100 000 < x² < 200 000,  x não pode conter   1   e assim, sucessivamente, até
900 000 < x² < 987 654,  caso no qual x não pode conter  9.

Fazendo todas as eliminações indicadas nas observações acima obtemos o conjunto:

O cálculo dos quadrados desses 29 números nos permitirá a determinação dos números procurados que são 567 e 854, cujos quadrados são, respectivamente, iguais a 321 489 e  729 316.

(Adaptado das soluções enviadas por Sérgio Dalmas, S. Vicente, SP. e Joaquim Raymundo da Silva Ferraz, Salvador, BA.)