Concurso para o Magistério do Estado e Município do
Rio de Janeiro, janeiro 1988, FESP


Conhecimentos Específicos

01. Os pontos M, N, P, Q, R e S são os vértices consecutivos de um hexágono regular, como se vê na figura abaixo.

A partir de M, no sentido horário de rotação, associemos a cada ponto um número da sucessão dos naturais, como está indicado na tabela que se segue.

 

M

0

6

12

 

N

1

7

13

 

P

2

8

14

 

Q

3

9

 

 

R

4

10

 

 

S

5

11

 

 

Então, o número   1988  ficará associado

ao vértice:

A) N      B) P       C) Q       D) R       E) S

 

02. Sobre os conjuntos  A, B, C  e  D  afirma-se:

(A B) (C D) = .

Então pode-se concluir que:

A)  o conjunto  A B  é vazio

B)    os conjuntos  A  e  C  são vazios.

C)  os conjuntos   A B   e   C D   são vazios

D)  dos quatro conjuntos, dois são vazios

E)  os quatro conjuntos são disjuntos doisa dois


 03.  Se   x   e   y   são números reais tais que 3,23 <  x  < 5,01   e  2,81 < y < 4,54, então, sobre a diferença x-y,  pode-se afirmar que:

A)   -1,31 < x-y < 2,20

B)    -1,41  < x-y < 0,73

C)  0,42 < x-y < 2,50

D)  0,42 < x-y < 2,73

E)  6,04 < x-y < 9,55

 

04.  A menor altura de um triângulo retângulo isósceles mede  10.  O perímetro desse triângulo vale:

 

05. São dados no plano xOy os pontos A(2,0) e B(-2,0). O lugar geométrico dos pontos  M(x,y)  tais que  é:

A)  o eixo  Ox

B)    o par de retas  x =    2

C)  a parábola  y = x2 4

D)   a parábola  y =   x2 + 4

E)  a circunferência  x2 + y2 = 4

 

é indeterminado, então a soma dos parâmetros  a  e  b  vale:
A) 4      B) 2      C) 0      D) 2      E) 4

 

07. Se n é o número de subconjuntos, não-vazios, do conjunto formado pelos cinco algarismos ímpares, então  n   vale:

A) 24     B)28     C) 31      D) 32     E) 45

 

08.  Sobre um mesmo eixo, são marcadas temperaturas de duas escalas termométricas T1 e  T2.

 

Observando as coincidências indicadas na figura, pode-se concluir que:

A)    a temperatura  0o   coincide nas duas escalas

B)     a temperatura 0o em T1 corresponde a  6° em  T2

C)  a temperatura 1o em T1 corresponde a 12° em  T2

D)    a temperatura 7o em T1 corresponde a 21° em T2

E)  a temperatura 11° em T1 corresponde 29° em T2

 

9.   Se (0,3),  (2,1) e (4,3) são três dos 25 elementos do produto cartesiano   S x S, então a soma dos elementos de  S  vale:
A) 9      B) 10      C) 11       D) 12      E) 13

 

10.   Uma das raízes da equação  x3 3x2 28x + 60 = 0  é  2.   O produto das duas outras raízes vale:

A) 30       B) 28         C) 14       D) 14      E) 30

 

 A) 2        B) 3        C) 4         D) 5          E) 6

 

12. Sobre as quatro raízes da equação x4 + 8x2 -9 = 0,   pode-se afirmar que:

A)     duas somente são reais

B)      as quatro são racionais

C)      as quatro são complexas não-reais

D)     duas são pares e duas são fracionárias

E)  duas são positivas e duas são negativas

 

13. Em um triângulo retângulo de catetos  6 e 8, a bissetriz interna do ângulo reto decompõe a hipotenusa em dois segmentos cuja diferença é:


 

14. No triângulo retângulo ABC, os catetos medem AB = 6 e AC = 8 e AH é a altura relativa à hipotenusa BC, conforme figura abaixo.

Se S1 e S2 são as áreas dos círculos inscritos respectivamente nos triângulos

 

C)   a média geométrica entre  a  e  b

D)   a média harmônica entre  a  e  b

E)  a média aritmética entre  m, a  e  b

 

16.   Se  q1 (x)  e  r1    são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de x8 por (x+1) e se q2(x) e  r2  são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de q1 (x) por  (x + 1),  então  r2  é igual a:

A) 1     B) 2     C) 8     D) 1     E) 6

 

17.    Em um polígono convexo de  n  lados, a soma de (n 1) dos seus ângulos internos vale 1850°. A medida do ângulo excluído na soma é:
 

A) 144°      B) 130°      C) 120°      D) 105°      E) 90°

 


 

19. São dadas a circunferência

x2 + y2  14x +  l0y + 65 = 0 e a família de retas  x + y + k = 0, onde k é um parâmetro. Se duas retas da família tangenciam a circunferência, respectivamente em M e N, então a distância   MN   mede:

A) 14       B) 10      C) 9       D) 8       E) 6

 

 

20. A figura abaixo representa uma circunferência de centro 0, interior ao retângulo ABCD e tangente aos lados AB, BC e AD.

Se  AB = 2  e  BC = 4,   a distância de 0  à reta  BD  mede:

 

21. O produto das raízes reais de vale:

A) 1    B) 1    C) 10   D) 10-1   E) 10-2

 

Então, o menor valor de  n  que satisfaz f(n) - f(n + l) < 10-3  é:

A) 8        B) 7        C) 6        D) 5        E) 4

 

23. Considere  a  função  real  definida  por f(x) = log(x2 6x 16). Então o valor de  f(10) f(6)  é:

 

24. São traçados cinco círculos que se tangenciam como está determinado na figura abaixo:

A razão entre a área de um dos dois círculos menores e a área do maior círculo vale:

 

25. Um aluno, desejando ingressar na Universidade, presta seu primeiro exame vestibular com 20% de probabilidade de aprovação. Não conseguindo êxito, submete-se a um segundo exame e, por ter estudado mais, a probabilidade de aprovação sobe para 30%. Tentando, no máximo, esses dois vestibulares, a probabilidade de o aluno ser aprovado é de:

A) 42%       B) 44%      C) 46%     D) 48%     E) 50%

 

26. Seja  A = (aij)  matriz  4 x 4  onde

Então, o valor do  det A  é:

A) 48      B) 96      C) 192      D) 384

 

27. Se A e B são matrizes 4 x 4 e det A = 5 e det B = 7, então o valor do det (2A x B)  é:

A) 70      B) 140      C) 280      D) 350      E) 560

 

28.  A quantidade de números inteiros, de cinco algarismos do tipo  15cd7, compreendidos entre  15000 e  16000, terminados em  7  e múltiplos de  33,   é de:

A) 3       B) 6      C) 12       D) 24      E) 30

 

29. A transformação de   (x,  y) e (x' y') R2,   definida por

 

é uma:

A) rotação    B) inversão    C) simetria    D) homotetia    E) translação  

A)  - 1   e   8                            D)  2  e   5

B)  0  e  7                               E)   3   e  4

C)  1   e  6

 

31. Dá-se a função f : R R, definida por f(x) = x . | x |.   Em relação às derivadas f'(x)  e  f"(x),   pode-se afirmar que:

A)  f'(0) = 0  e   f"(0) = 0

B)    f'(y) = e   f"(y) = 2

C)  f'(2) = 4  e  f"(2) =  -2

D) f( l) = 2  e   f"( l) = 2

E)  f'(0) = 0  e   f"(0)   não existe

 

32. O valor mínimo de  f : R R,   definida  por   f (x) = (x 2 - 3) .    é:


33. A área da superfície limitada pelos gráficos de y = cos2x e de y = sen2x e pelas retas 

 

34. Dentre as alternativas abaixo, aquela que representa uma raiz sexta de   1 é:

 

35. Os pontos (x, y, z) da reta x = 1 + t, y = 2 t, z = 4t, no interior da superfície x2 + y 2 + z 2  2 x  4 y  =  4, constituem um segmento de reta cujo ponto médio é:

A) (1, 2, 0)                       D) (0, 3, -4)

B)     (3, 0, 8)                     E) (4, -1, 12)

 

36. O coeficiente de x5 de (2x  l)9  é:

A)  8064             D) 2016

B)      4032            E) 1344

C)  2688

 

 

38. As imagens dos números l + 2i, 2 + i e 1 2i são vértices de um quadrado. O quarto vértice do quadrado corresponde ao número:

 A)  1 i       B)  2 i       C)  1 + i       D)  1 2i       E)  2 + 2i

 

39. Sejam M e N pontos situados nas geratrizes VMA e VNB de um cone equilátero, cuja secção meridiana é o triângulo VBA  como se vê na figura abaixo.

Lembrando que a superfície lateral do cone é planificável e supondo que VM = 8 e VN = 6, então o menor caminho, sobre a superfície lateral do cone, de M até N  mede:
 

 

 

41. No trapézio ABCD representado abaixo, de base menor AB = a, base maior CD = b, altura h, I é o ponto de intersecção das diagonais. O segmento MQ, paralelo às bases do trapézio, intercepta os segmentos AD, ID, IC e BC nos pontos  M, N, P  e  Q,   respectivamente.

Se  MN = NP = PQ,  então a distância x,   entre as paralelas  AB  e  MQ,   vale:

 

42.  Seja f(n) = d,  onde  d  é o número de divisores positivos do natural n. Se f-1 representa a relação inversa da f,  então podemos concluir que f-1 (2) é a classe dos:

A)     números pares                  C)      múltiplos de  3                   E)  quadrados dos números primos

B)      números primos               D)     números ímpares

 

43.  Os pontos A(2, 1, 1), B(5, 5, 6) e C(7, -2, 5) são os vértices do triângulo isósceles ABC.  Sob forma paramétrica, os pontos (x, y, z) da reta bissetriz do ângulo interno BÂC do triângulo podem ser determinados por:

A)   x = 2 + 5t, y = 1 + 5t,  z = 1 + 6t

B)   x = 2 + 3t, y = 1 + 4t,  z = 1 + 5t

C)    x = 2 8t, y = 1 - 5t,  z = 1 + 9t

D)    x = 2 + 8t,  y = 1 + t,  z = 1 + 9t

E)   x = 2 + t,  y = 1 - t,  z = 1 + 9t

 

A razão entre a área do quadrilátero BCQP e a do triângulo  ABC  vale:

 

45.  Observando os extremos de  y = 6sen2x, podemos concluir que as raízes reais de 6sen2x=|x|  são em número de:

A) 3        B)5       C)7        D) 9       E) 10

 

46.  Considere todos os pares (b, c) de inteiros tais que   |b| 4  e   |c| 4.   Escolhendo-se, ao acaso, um desses pares (b, c),   a probabilidade de a equação x2 + 2bx + c = 0 possuir raízes distintas positivas é:

 

 

A)314       B) 315       C) 316         D) 317         E) 318

48. Duas tábuas de logaritmos T1 e T2 têm bases  8  e 64, respectivamente. Forma-se uma terceira tábua T3, de base b, na qual o logaritmo de cada número positivo é a soma dos seus logaritmos em T1 e T2.   Então o valor da base  b  é:    

 

49. Se x1, x2 e x3 são as raízes de 2x3  4x2 + 5x - 7 = 0, então vale:


A) 6      B) 4      C) 2      D) 1      E) 4                              

 

50. Se P1 e P2 são proposições equivalentes e P3  uma conseqüência de P1, pode-se concluir que:

A) P3 P1              D) P3 P2

B) P3 P1             E) P2 P3

C) P3 P2

 

 

GABARITO

 

1
2
3
4
5

b
c
a
c
e

6
7
8
9
10

c
c
e
b
a

11
12
13
14
15

e
a
d
c
d

16
17
18
19
20

c
b
c
e
c

21
22
23
24
25

a
d
c
a
b

26
27
28
29
30

d
e
a
a
b

31
32
33
34
35

e
b
a
b
a

36
27
28
39
40

b
e
b
a
b

41
42
43
44
45

a
b
d
a
d

46
47
48
49
50

e
d
c
d
e
 

 

 

Comentários

   Esta prova, de questões muito bem elaboradas, poderá, sob vários aspectos, ser útil aos
leitores da  RPM.  Seus autores, são dois competentes professores de Matemática, um deles universitário e outro, dedicado exclusivamente ao ensino médio oficial, ex-aluno do primeiro.

   Neste concurso, com mais de 10 candidatos para cada uma das mais de 100 vagas, foram
aprovados menos do que 80 candidatos.

  Somente 7 questões tiveram um índice de acerto superior a 50%: 38 (71%); 2 (66,7%); 12 (59,9%); 9 (59,3%); 4 (56,6%) e 23(50,1%) e 11 questões tiveram um índice de acerto inferior a 20% (menor do que o acaso!): 41 (19,1%); 47 (18,9%); 49 (18,7%); 29 (17,6%); 44 (17,1%); 33(16,3%); 25  e  45 (14%); 46 (10,6%); 11 (10,1%)  e  27(8,4%).

  Na questão 25, que teve 14% de acertos, 50,6% optaram pela alternativa (e); na questão 27, 58,8% pensaram, erroneamente, que det(2A) = 2 det (A), independentemente da ordem da matriz A.  Afinal, na questão  11,  30,2% ficaram com a opção (c) e 27,7% com a opção (a).

 

Agradecimentos

A   RPM   agradece aos professores:

   Rosilene Diniz de Souza Aguiar que, atendendo o apelo feito na seção Cartas do Leitor,.
RPM 13,   nos enviou uma cópia das questões;

   P.adiwal da Silva Alves Pereira que nos enviou um gabarito e citou a fonte de onde recebe­
mos as questões e autorização para publicá-las;

   Nelson Tunala que nos enviou as questões juntamente com todas as resoluções;

   Dagomir Azevedo da FESP que nos mandou exemplares das provas deste Concurso e de
outro, municipal, realizado em junho de 1988, autorizando sua publicação;

   José Alves que desencadeou o processo todo solicitando em Cartas do Leitor a publicação
das questões.