Plácido Rogério Pinheiro
Fortaleza, CE.

O círculo que passa pelos pés das alturas de qualquer triângulo passa também pelos pontos médios dos lados, bem como pelos pontos médios dos segmentos que unem os vértices ao ortocentro do triângulo.

Este teorema foi enunciado e demonstrado por Brianchon e Poncelet em um trabalho publicado em 1821. O círculo, mencionado no teorema, é conhecido hoje como o Círculo dos Nove Pontos.

A história do teorema é um tanto confusa, o que faz com que o círculo dos nove pontos seja também chamado "Círculo de Euler" e "Círculo de Feuerbach¹'.

Em 1804, Bevan propôs como problema a demonstração de um teorema que envolvia o círculo dos nove pontos. O problema foi resolvido, em 1806, por Butterworth, que propôs e resolveu um outro problema relacionado, dando, no contexto, a impressão de que ele sabia que o círculo em estudo passava pelos nove pontos.

O teorema é, às vezes, erroneamente atribuído a Euler. Euler demonstrou, em 1765, que o ortocentro, o baricentro e o circuncentro de um triângulo (v. RPM 12, p. 15) estão em uma mesma reta, conhecida como reta de Euler. Acontece que o centro do círculo dos nove pontos está na reta de Euler e é ponto médio do segmento que tem por extremidades o ortocentro e o circuncentro. Mas não há nenhuma indicação de que Euler conhecesse o círculo dos nove pontos.

Feuerbach, independentemente, demonstrou, em um trabalho publicado em 1822, que o círculo que passa pelos pés das alturas de um triângulo passa também pelos pontos médios dos lados, e acrescentou: este círculo é tangente internamente ao círculo inscrito e tangente externamente aos três círculos ex-inscritos do triângulo — "talvez o mais belo teorema da Geometria Elementar que tenha sido descoberto desde o tempo de Euclides".^[11 É por isso que o círculo dos nove pontos é também conhecido como círculo de Feuerbach, apesar de o autor ter localizado apenas seis de seus pontos. O destino do teorema após a sua descoberta foi igual ao de muitos outros. Inicialmente ele foi ignorado, depois redescoberto várias vezes. Steiner o enunciou, sem demonstração, em 1828, e achou os três pontos que faltavam em 1833. Terquem o demonstrou completamente em 1842. Salmon e também Casey provaram a parte relativa às tangências, em 1860. Muitas outras demonstrações foram publicadas, culminando com Sawayama, que, em 1911, apresentou nove demonstrações, todas, supostamente, inéditas.

Estou apresentando uma prova do teorema do Círculo dos Nove Pontos de fácil compreensão. Existem outras provas usando, inclusive, recursos da Geometria Analítica (Moderov, P. S. Problems in Geometry, Mir Publishers, Moscou, 1981.).

Elementos

Sejam:

ABC o triângulo.

D, E  e  F os respectivos pontos médios de  AB, BC  e  AC.

AK, BI e  CG  as alturas com  K, I e  G  os respectivos pés,

H o ortocentro do triângulo.

L, J e  S  os respectivos pontos médios de  AH, BH e   CH.

Os nove pontos são:   D, E, F, K, I, G, L, J  e  S.

Demonstração:

Consideremos a circunferência    passando por D, E e F (fig. 2).

Trata-se de demonstrar que    passa por  K, I e   G,   e por  L, J e  S.

Basta provar que     passa por  K  (pois, para  / e   G  a demonstração é análoga) e por  L   (pois, para  J e  S é análogo).

1.ª  parte (fig. 3): Provemos que passa por K, observando o quadrilátero  KFDE.

O segmento DE, com extremidades nos pontos médios dos lados AB e BC do triângulo ABC, é paralelo a AC e igual à sua metade, logo DE=FC(1).

No triângulo CAK, retângulo em K, a mediana KF, relativa à hipotenusa AC,  é metade desta hipotenusa. Logo  KF=FC (2).

De   (1)   e   (2)  vem:   KF=DE.

Portanto, o quadrilátero KFDE é um trapézio isósceles, pois FD é paralelo a KE e KF=DE. Conseqüentemente, ele é inscritível. Sendo inscritível, a circunferência que passa pelos pontos D, E e F, passa, também, por  K.   Então,      passa por  D, E, F, K, I e   G.

2.ª  parte (fig. 4): Provemos que passa por L, observando o quadrilátero   KFLE.

No triângulo ACH, FL é paralelo a CH por ser segmento com extremidades nos pontos médios dos lados AC e AH. Analogamente, no triângulo ABC, FE é paralelo a AB. Os ângulos EFL e AGC, por terem lados respectivamente paralelos, são congruentes. Como AGC é reto, segue-se que EFL  é também reto.

Ora, os triângulos retângulos EKL e EFL possuem a mesma hipotenusa LE,  logo o quadrilátero KFLE é inscritível. Sendo inscritível, a circunferência    que passa pelos pontos  E, F e  K (1.ª parte),   passa também por  L. Vemos, então, que    passa por  D, E, F, K, I, G, L, J e  S.

Corolário 1. O segmento LE é o diâmetro do "Círculo dos Nove Pontos".

Demonstração:

Basta notar que o triângulo LFE é retângulo em F,  e, portanto inscritível em    com diâmetro   LE.

Corolário 2. O centro do "Circulo dos Nove Pontos" é o ponto médio do segmento cujas extremidades são o ortocentro H e o circuncentro 0 do triângulo  ABC (fig. 5).

Demonstração:

Num trapézio, toda reta paralela às bases, passando pelo ponto médio de um lado, intercepta o outro em seu ponto médio.

Consideremos os trapézios, retângulos FIHO e HOEK. No primeiro, a mediatriz de FI (que é paralela às bases) corta o segmento HO em seu ponto médio M. Também no trapézio HOEK a mediatriz de KE (que é paralela às bases)  corta  HO em seu ponto médio  M.

O ponto M é o centro de pois também é intersecção das mediatrizes das cordas Fl e  KE de  .

Bibliografia

[1]  Boyer, Cari B. História da Matemática, Editora Edgard Blúcher Lida., 1974.

[2]  Coxeter, H. S. M. e Greitzer S. L. Geometry Revisited, the Mathematical Association of America, 1967.

[3]  Jonh S. Mackay. History of Nine-Point Circle, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 11 (1892), 19.

|4]  J. L. Coolidge. The Heroic Age of Geometry, Bulletin of the American Mathematical Society, 35 (1929), 19-37.

[5]  Cajori, F. A History of Mathematics, Mac-Millan, 1919.