Alfredo Rioji Matsufuji
São Paulo, SP

No rodapé da p.31 da RPM 4, consta o seguinte enunciado: '' Tome um triângulo arbitrário. Com base em cada um dos seus lados, construa (externamente) um triângulo equilátero. Os centros desses 3 triângulos equiláteros são ainda vértices de um triângulo equilátero."

A professora Erika B. Ledergerber-Ruoff em seu livro "Isometrias e Ornamentos no Plano Euclidiano", p.128, Atual Editora, demonstra, usando isometrias, este teorema, além de outros de mesma beleza.

Não reproduzirei essa demonstração mas darei outra, utilizando conceitos básicos de Trigonometria.

Seja ABC um triângulo qualquer. Fazendo as construções do enunciado e lembrando que o centro de cada triângulo construído é o seu baricentro, teremos a situação abaixo:

Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC para o ângulo ,   teremos

a² = b² + c² 2bc cos , isto é,

Lembrando que a área A do triângulo ABC é dada por A = (bc sen )/2, obtemos sen =2A/bc.

Agora aplicaremos a Lei dos Cossenos ao triângulo AMN, lembrando que , pois tal segmento vale 2/3 da altura do triângulo equilátero de lado  b.   Analogamente,  .

e, após alguns cálculos

Novamente, aplicaremos a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC, agora para o ângulo .

Assim, aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo  BNP:

 e, após novos cálculos,

 Logo,   MN = PN.   O leitor poderá concluir que

e, por conseguinte, que o triângulo  MNP  é equilátero.