O professor Geraldo Alfredo Hallwass, leciona Matemática em Passo Fundo, no Rio Grande do Sul. Tive o prazer de conhecê-lo durante um curso, na PUC de Porto Alegre, em agosto de 1984. Contou-me que havia sido procurado por um empreiteiro, que pedia a sua ajuda na resolução de um problema.

O construtor pretendia construir um grande depósito, de forma retangular, com as dimensões assinaladas na figura 1. A cobertura, em forma de arco de circunferência, deveria ter 6 m de altura máxima, no centro do vão.

Como calcular a área do telhado? Essa informação era necessária para o cálculo do custo das telhas.

Vejamos como Geraldo resolveu o problema.

Para calcular o raio do arco de circunferência aplicamos o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo  AOD:

R² = 8² + (R - 2)²

AR = 68 R =  17

No mesmo triângulo retângulo, temos que:

Numa circunferência, as medidas dos arcos são diretamente proporcionais às medidas dos ângulos centrais correspondentes. Logo, sendo x a medida do arco  ,  temos:

A superfície do telhado é parte de uma superfície cilíndrica. Planificando-a, obtemos um retângulo de lados iguais a 16,6 m e 40 m. Portanto, a área do telhado é, aproximadamente, igual a   16,6 x 40 = 664 m².

 

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