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Roberto Ribeiro Paterlini
Antes de apresentarmos um novo método para o cálculo do mdc e do mmc de dois números, vamos recordar algumas definições: dados os números naturais a e b, seu mdc (= máximo divisor comum) é, como o próprio nome indica, o maior dos números que dividem tanto a quando b. Enquanto seu mmc (= mínimo múltiplo comum) é o menor dentre todos os números positivos que sejam, simultaneamente, múltiplos de a e de b. O número 1 é divisor de qualquer número e, se os números a e b não admitem outro divisor comum, tem-se que mdc (a, b) = 1 e diz-se, então, que a e b são primos entre si. O mdc e o mmc aparecem em vários resultados teóricos e na resolução de problemas, mas, nos nossos cursos, sua mais comum aplicação é no cálculo com frações ordinárias. Embora nesse contexto sua utilização seja dispensável, ao preço de trabalharmos, às vezes, com números maiores, é na hora de simplificar frações que os textos didáticos usam o mdc e é na hora de comparar, somar ou subtrair frações, que aparece o mmc.
Se os números a e b estão decompostos em fatores primos, é fácil encontrar a decomposição em fatores primos de seu mdc e seu mmc. Como exemplo, consideremos os números 2 100 e 198. Ora, como
2 100 =
22
. 3
. 52
. 7 e 198 = 2
. 32
.
11,
qualquer
divisor comum a 2J00 e 198 só pode ter 2 e 3 como fatores primos e somente
com expoentes 0 ou 1. O maior de todos será, então, 2
x
3, isto é
mdc
(2 100, 198) = 2
x
3 = 6. Daí, a regra já conhecida: o mdc é o produto dos fatores primos que aparecem tanto na decomposição de a quanto na de b, cada um deles elevado ao menor dos dois expoentes com que aí aparece.
Analogamente, qualquer múltiplo comum a 2
100 e
198 deve ter, como
fatores primos: 2 (com
expoente
mmc (2 100, 198) = 22 x 32 x 52 x 7 x 11 = 69 300. Daí, a regra: o mmc é o produto de todos os fatores primos que aparecem na decomposição de a ou na de b, cada um deles elevado ao maior expoente com que aparece.
mmc
(2 100, 198) = 22
x
32
>x
52
x
7
x
11 = 69 300.
Uma variação deste método simplifica os cálculos e fornece, ao mesmo tempo, o mmc e o mdc dos números. Exemplificamos calculando o mmc e o mdc dos mesmos números 2 100 e 198:
Nesta disposição, um número primo comparece na coluna da direita apenas quando divide ambos os números à sua esquerda, na mesma linha. As divisões terminam quando isto não mais for possível, o que significa que encontramos dois números primos entre si nas duas colunas da esquerda.
O mdc
é o produto dos primos que estão na coluna da direita e o mmc, o
produto deste mdc pelo dos números primos entre si que restaram na
última linha à.esquerda.
Colocando na coluna da direita só os primos que dividem ambos os números da esquerda, estamos, certamente, relacionando fatores primos do mdc. Levando o processo até chegarmos a 2 números primos entre si (que não admitem mais nenhum divisor comum a não ser o 1), teremos esgotado os fatores primos do mdc. Assim, o produto 2 x 3 = 6 dos primos da coluna da direita é o mdc dos números dados inicialmente. Por outro lado, devido à maneira como se chegou aos números primos entre si, 350 e 33, tem-se que 2 100 = 6 x 350 e 198 = 6 x 33. Então, qualquer múltiplo de 2 100 deve conter os fatores 6 e 350 e qualquer múltiplo de 198 deve conter os fatores 6 e 33; logo, o menor de todos os múltiplos comuns é aquele que se obtém do produto dos fatores 6, 350 e 33. (O leitor observa que é, nesse ponto, que entra o fato de 350 e 33 serem primos entre si, pois se houvesse, ainda, um número diferente de 1, dividindo 6, 350 e 33, então o produto dos três não seria o menor dos múltiplos comuns.)
1. Os argumentos acima, para justificar o método, no caso particular estudado do cálculo do mdc e do mmc de 2 100 e 198, se transportam ao caso geral de dois números quaisquer a e b, sem mudanças significativas, mas sob uma notação muito carregada, a partir da decomposição em fatores primos de a e de b. Por isso, deixamos de apresentá-la aqui. 2. Este método se aplica, também, ao cálculo do mdc e do mmc de mais do que dois números. Deixamos ao leitor a tarefa de fazer as devidas (e poucas) adaptações nos argumentos apresentados. 3. A justificativa exposta acima põe à mostra uma relação importante entre o mdc, o mmc e o produto de dois números. Com efeito, revendo o processo apresentado, o leitor deduzirá que a x b = mmc (a, b) X mdc (a, b), ou, na forma como é mais utilizada,
Uma outra disposição de utilização desse mesmo processo é a seguinte: forma-se uma fração com os dois números dos quais se pretende calcular o mdc e o mmc. Vai-se simplificando a fração (por divisão pelos fatores primos comuns, de preferência na ordem, para que não se deixe escapar algum) até chegarmos a uma fração irredutível (isto é, com numerador e denominador primos entre si), tendo o cuidado de, a cada passo, anotar (por exemplo, abaixo do sinal de =) o número pelo qual foram divididos os termos da fração. No final do processo, o mdc é o produto dos números anotados abaixo do sinal de = , e o mmc é o produto deste mdc pelo numerador e pelo denominador da fração irredutível. Ou seja,
donde mdc (2 100, 198) = 2x3 = 6 e mmc (2 100, 198) = 6 x 33 x 350 = 69 300. É claro que o processo acima se torna redundante se estamos procurando o mdc entre numerador e denominador de uma fração para efeito de simplificá-la. Isto só reforça, entretanto, a idéia de que não é nesse contexto que o mdc apresenta sua força como ferramenta matemática.
Bibliografia [1] Arithmetic Teacher, volume 12, número 4, dezembro de 1984. [2] Elementos de álgebra, Monteiro, L. H. J. Ao Livro Técnico S.A., Rio de Janeiro, 1969. [3] Introdução à teoria dos números, Sidki, S. 10? Colóquio Brasileiro de Matemática, Poços de Caldas, 1975.
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2), 3 (com expoente ente
