Folheando um livro antigo de Matemática, deparei-me com o método de Viète para resolução de equações completas de 2.° grau.

O método fornece as soluções da equação sem que se aplique uma fórmula, ou então, se aplicado à equação ax² + bx + c = 0, a 0, fornecerá a fórmula de Bhaskara.

Professores, apoiando-se nos livros didáticos atuais, ou dão a fórmula de Bhaskara como receita, sem nenhuma demonstração quanto à sua validade, ou a deduzem pelo processo de "completar quadrados" (veja RPM 6, p. 36). O método de Viète oferece uma outra alternativa, a meu ver, muito instrutiva.

François Viète foi um matemático francês que nasceu em Fontenay no ano de 1540 e morreu em Paris no ano de 1603. Na sua juventude, estudou e exerceu Direito e tornou-se membro do Parlamento da Bretanha. Não era, portanto, um matemático por profissão; porém o seu lazer era dedicado à Matemática, dentro da qual desempenhou um papel central na transição da época Renascentista para a Moderna. Fez contribuições à Aritimética, Álgebra,Trigonometria e Geometria, mas, sem dúvida, foi na Álgebra que ocorreram suas mais importantes contribuições, pois aqui Viète chegou mais próximo das idéias modernas. Em sua obra foi encontrada, pela primeira vez, em Álgebra, uma distinção clara entre o conceito de parâmetro e a idéia de uma quantidade desconhecida (incógnita). Viète utilizou uma vogal para representar uma quantidade desconhecida ou indeterminada e uma consoante para representar uma grandeza ou um número supostamente conhecido ou dado. Na época de Viète a Álgebra árabe já havia sido aperfeiçoada, tanto pela resolução das equações cúbicas e quárticas como por um uso parcial de símbolos. Viète teve uma participação muito efetiva na renovação do simbolismo e na resolução das equações quadráticas, cúbicas e quárticas. Viète desenvolveu novos métodos de solução, percebeu algumas relações entre coeficientes e raízes de uma equação, embora seu trabalho tivesse ficado tolhido por sua recusa em aceitar coeficientes ou raízes negativas.

 

3. O método

Vamos descrever o método de Viète para a resolução de equações do 2.º grau. Seja  ax²+bx+ c = 0,  a 0.

Fazendo-se x = u + v,  onde w e v são incógnitas auxiliares, e substituindo na equação, temos:

a(u + v)² + b(u + v) + c = 0

a(u² + 2uv + v²) + b(u + v) + c = 0.

E reescrevendo essa igualdade como uma equação na incógnita   v,   obtemos

av² + (2au + b)v + au² + bu + c = 0.

Viète transformou essa equação numa equação incompleta do 2.° grau, anulando o coeficiente

A título de ilustração, vamos resolver a equação x² - 3x + 2 = 0 pelo método de Viète. Fazendo  x = u + v  e substituindo na equação dada, temos:

(u + v)² - 3(u + v) + 2 = 0,

que é equivalente a

v² + (2u - 3)v + u² - 3u + 2 = 0.

As soluções da equação são 2 e 1.

O método de Viète possibilita uma demonstração da fórmula de Bhaskara, de fácil compreensão e sem grandes artifícios. Percebemos que os alunos podem chegar à solução de uma equação completa do 2? grau sem que seja necessário utilizarem a fórmula de maneira decorada como tantas vezes acontece. Sugerimos que o método de Viète seja utilizado como acessório do conteúdo normalmente dado na abordagem de equações do 2.° grau.

Bibliografia

[1] Cari B. Boyer, História da Matemática. Editora Edgard Bliicher e Editora da Universidade de São Paulo.

[2] Howard Eves, An introduction to the history of Mathematics. Holt, Rinehart and Winston. [3] The development of Mathematics, E.T.Bell. Editora McGraw-Hill Book Co. [4] Curso de Matemática, Algacyr Munhoz Maeder. Editora Melhoramentos.

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NR: O processo de Viète é também usado para transformar a equação completa do 3.° grau y³ + ay² + by + c = 0  na equação x³ + px + q = 0. Veja RPM 7, p. 29.