Este ano o Brasil já participou de duas olimpíadas internacionais de Matemática: a 3.ª Ibero-americana e a 29.° Internacional.

A 3.ª Ibero-americana foi realizada no Peru, em abril, e contou com a participação de treze países.

Os quatro estudantes que representaram o Brasil conquistaram medalhas — uma de ouro, duas de prata e uma de bronze.

Transcrevemos abaixo três dos seis problemas dessa Olimpíada, dois deles com a respectiva solução. Quanto ao terceiro:

1. As medidas dos ângulos de um triângulo estão em progressão aritmética e os comprimentos das alturas do mesmo triângulo também estão em progressão aritmética. Demonstre que o triângulo é equilátero.

Solução:

Se os ângulos estão em  PA ,  como sua soma é   180°,  um deles medirá 60°.  Seja A  esse ângulo. Para os lados, temos  b a c  e, portanto, para as alturas,   h_b h_a h_c.

Temos:

Simplificando, obtemos  4a²r² + a⁴r⁴ = 0,   o que implica  r = 0.

2. Considere as expressões da forma x + yt + zt²,  com x, y, z números racionais e  t³ = 2.   Demonstre que:

se x + yt + zt² 0, então existem  u, v e w  racionais  tais que (x + yt + zt²) ^. (u + vt + wt²) = 1.

Solução

x + yt + zt²,   nas condições do problema, só é igual a zero se   x = y = z = 0.  A igualdade  (x+ yt + zt²) ^. (u + vt + wt²) = 1   é, então, equivalente ao sistema

Esse sistema terá solução se

Suponhamos  x, y  e  z  racionais e tais que

6xyz 4z³ 2y³ x³ = 0.

Sem perda de generalidade podemos supor  x, y  e  z  inteiros e primos entre si. Vemos que  x é par; substituindo  x  por  2x'   e simplificando, obtemos

6x'yz 2z³ y³ 4x' ³ = 0.

Portanto y  é par; substituindo  y  por  2y'   e simplificando, obtemos

6x'y'z z³ 4y' ³ 2x' ³ = 0,

o que mostra que z é par. Isso contraria a hipótese de serem x,y e z primos entre si. Portanto a única solução da equação é  x = y = z = 0.

3. Considere os conjuntos de n números naturais não nulos, nos quais não há três elementos em progressão aritmética. Demonstre que em um desses conjuntos a soma dos inversos de seus elementos é máxima.

(Prêmio para a solução "mais eficiente".)

A 29.ª Olimpíada Internacional de Matemática realizou-se em Canberra, Austrália, em julho deste ano. Contou com a participação de 49 países, num total de 268 estudantes. Os países que tiveram melhor desempenho foram União Soviética, Romênia, China, Alemanha Ocidental e Vietnã, nessa ordem.

Dois integrantes da equipe brasileira, Jun Takakura  e  Lenilson Barreira de Morais receberam menção honrosa pelo seu desempenho nesta olimpíada internacional.

Os problemas propostos foram bem mais difíceis do que os da Ibero-americana. Transcrevemos abaixo dois dos problemas propostos: o primeiro teve o maior índice de acertos, 98 em 268; o segundo teve o menor índice de acertos: apenas 11 em 268.

1. Consideram-se duas circunferências concêntricas e coplanares de raios R e r(R > r).  Sejam P um ponto fixo da circunferência menor e B um ponto variável que percorre a circunferência maior.Areta BP volta a concorrer com a circunferência maior no ponto C. A perpendicular / a BP por P volta a concorrer com a circunferência menor no ponto A (se / for tangente a essa circunferência em  P, A = P).

a)   Determine o conjunto de valores da expressão  BC² + CA² + AB².

b)  Determine o lugar geométrico descrito pelo ponto médio de  AB.

é um quadrado perfeito. ab + 1