Flávio Wagner Rodrigues IME-USP Soluções e Sugestões devem ser enviadas para RPM — Problemas Caixa Postal 20570 01498 - São Paulo - SP      Problemas 62. Num país distante, um condenado à morte foi chamado à presença do rei, que lhe fez a seguinte proposta: "Aqui estão 50 bolas brancas, 50 bolas pretas e duas urnas idênticas. Distribua, como você quiser, essas bolas pelas urnas de modo que nenhuma delas fique vazia. As posições das urnas serão modificadas aleatoriamente, de modo a evitar que você possa identificá-las. Você deverá então escolher uma urna e dela retirar uma bola. Se ela fôr branca, você será libertado e se fôr preta, será executado". Determine a distribuição que maximiza a probabilidade de que o condenado ganhe a liberdade.   63. Determinar a área do triângulo ABC formado pelas três tangentes às circunferências de raios 5 cm e 2 cm, sabendo que as tangentes internas são perpendiculares conforme figura abaixo. (Enviado por Tsunediro Takahashi,São Paulo, SP.)     64. Seja ABCD um tetraedro tal que a projeção ortogonal de D no plano ABC é o ortocentro do triângulo ABC.  Provar que A  se projeta ortogonalmente no ortocentro do triângulo BCD, B no ortocentro do triângulo ACD e  C no do triângulo ABD.   65. Supondo que o polinômio tenha 100 raízes reais e que P(7) > 1, mostre que existe pelo menos uma raiz maior do que  7.          e Probleminhas 1.  Na figura está representada uma multiplicação em que alguém apagou quase todos os algarismos. Descubra os algarismos apagados. (Enviado por José Hernandes, São José do Rio Preto, SP).   2.  Um terreno de 50 m de comprimento e 15 m de largura deve ser totalmente dividido em quadrados congruentes de maior área possível. Determine o número de quadrados obtidos. (Enviado por Raimundo Martins Reis Neto, São Luís, MA.) 3.  João está em A e quer chegar em  B  atravessando uma única vez cada um dos 36 quadrados, sempre passando por uma das "portas". Trace um caminho para João. (Enviado por Edson Gil Arcanjo, Rio de Janeiro, RJ.) (Ver respostas na seção "O leitor pergunta")         Soluções dos problemas propostos na RPM 11,2.° semestre de 1987   54. Prove que: Solução: Este foi o problema que recebeu o maior número de soluções dos leitores da Revista. As diferenças entre as diversas soluções recebidas estavam apenas na maior ou menor eficiência com que as fórmulas de transformação em produto foram utilizadas. A solução que apresentamos a seguir, assim como o problema, foi também sugerida pela solução do problema 53. Usando a relação  cos 2a = 2 cos2a 1,  essa expressão se transforma em:     Por outro lado, de onde se segue que:   55. Mostre que existe apenas um n? finito de triplas  x, y, z,   de números naturais, tais que Solução: O problema é uma versão de um problema proposto na Olimpíada Brasileira de 1983 e sua solução, como foi observado por diversos leitores, aparece na página 44 da RPM 3. Para os leitores que não possuem esse exemplar damos a seguir um resumo da solução. Pelo menos um dos números x, y ou z é menor ou igual a 3 000. De fato, se todos fossem maiores do que 3 000, a soma de seus inversos seria menor do que 1/1 000. Suponha x y , z e x 3 000.   Para cada valor de x fixado teríamos necessariamente Repetindo o raciocínio, pode-se dizer que pelo menos um dos números, y ou z é menor ou é único. Segue-se que o n.° de soluções é finito.   56. Na figura ao lado, mostre que o ponto   K  pertence à mediana por   C,   se e somente se A'B' // AB. Solução: a) Vamos supor A'B' // AB e mostrar que K CM. Sejam {L} = CMCB'A' , {N} = CMCB'B  e  {N'} = CM AA'. Como B'NL ~ MNB  e  A'LN' ~ AN'M, temos: De onde,   N = N'  = K  e, portanto  K CM. b) Reciprocamente, se  K CM,  construímos A'B" // AB.  Pela parte a)  K' CM  onde {K'}= AA' BB". Como  K' CM AA',   segue-se que  K = K'   e, conseqüentemente,  B" = B'. (Solução enviada pelo proponente, Roberto Pinheiro Chagas, de Belo Horizonte — MG. Alguns leitores enviaram soluções baseadas num teorema devido ao matemático italiano Giovanni Ceva (1648-1734). Damos abaixo o enunciado desse teorema que simplifica bastante a solução.   Teorema de Ceva — Num triângulo ABC, as três cevianas AX, BY, CZ são concorrentes se e somente se:                         57. Até o momento em que encerrávamos os trabalhos da seção, nenhuma solução completa para esse problema tinha chegado às nossas mãos. Numa solução parcial que recebemos, o autor não conseguiu, a nosso ver, justificar como chegou ao resultado obtido. Vamos deixar o problema como um desafio aos leitores da  RPM,  acrescentando a seguinte sugestão: a)   Tente resolver o problema supondo as casas dispostas numa rua horizontal e exigindo que a 1.ª e a última casas sejam também pintadas com cores diferentes (para isso o uso de uma relação de recorrência pode ser conveniente). b)  Una as extremidades dessa rua de modo a formar uma praça circular e tente contar as configurações distintas que restaram.