O artigo do Professor Valdir Vilmar da Silva, RPM 11, p. 52 (publicado no mesmo número da RPM onde saiu meu artigo sobre decomposição de polígonos de iguais áreas, p. 19), suscita o seguinte problema:

Dado um triângulo retângulo com hipotenusa c e catetos a, b, decompor o quadrado de lado c num número finito de polígonos que, reagrupados, formem um quadrado de lado b e outro de lado a.

Observe-se que a primeira das demonstrações apresentadas no artigo do Professor Euclides Rosa (RPM 2, p. 14) não resolve o problema acima posto. Com efeito, para mostrar que c² = a² + b², o Prof. Rosa toma 4 triângulos iguais ao dado,   primeiramente os junta ao quadrado de lado c e depois aos quadrados de lados b e a (de modo diferente), obtendo, em ambos os casos, um quadrado de

lado  a + b,  conforme a figura 1.

Já o Prof. da Silva decompõe um quadrado de lado a em quatro triângulos iguais ao dado e mais um quadradinho menor. Esses 5 polígonos são então reagrupados para formar uma figura equivalente à justaposição de um quadrado de lado b mais outro de lado c. Faltou-lhe muito pouco para que resolvesse o problema acima. Bastava ter cortado dois dos seus triângulos, obtendo a figura 2 onde o quadrado maior, de lado a, ficou decomposto em sete polígonos, os quais são depois reagrupados para formar dois quadrados, de lados  b  e  c.

Assim, podemos considerar que a construção do Prof. da Silva resolve o problema posto no início.

Nosso interesse em mencionar esse fato deve-se a uma observação feita por Vladimir Boltyanskii em seu excelente livrinho Equivalem and equidecomposable figures (D.C. Helth and Co., Boston, 1963, p. 9). Ali, o autor diz que o Teorema de Pitágoras é facilmente demonstrável pelo método da complementação, o qual consiste no seguinte: para provar que duas figuras A e B têm a mesma área, acrescentam-se sucessivamente a A e a B figuras, duas a duas congruentes, até obter novas figuras que sejam congruentes. E, para ilustrar, mostra exatamente a construção da figura 1.

Em seguida, diz Boltyanskii: "À guisa de comparação, apresentamos aqui um desenho que indica como o Teorema de Pitágoras pode ser provado pelo método da decomposição". E mostra a figura 3. Isso deixa a impressão de que o problema enunciado acima tem uma solução necessariamente complicada. Em particular, nenhum dos triângulos numerados de 1 a 8 na figura de Boltyanskii é retângulo.

Como acabamos de ver, a prova do Teorema de Pitágoras pelo método de decomposição pode ser feita de modo mais simples do que esse da figura 3. Mas existe outra maneira, mais simples ainda, que consiste em subdividir o quadrado de lado a em apenas 5 quadriláteros, um dos quais é o quadrado de lado c (supondo c < b) e os outros quatro podem ser agrupados para formar o quadrado de lado b. Na realidade, a construção (conhecida como a dissecção de Perigai) começa traçando uma paralela e uma perpendicular à hipotenusa a, as quais se cortam no centro do quadrado construído sobre o cateto b. Essas duas linhas decompõem o quadrado de lado b em quatro partes, as quais são transladadas para preencher parte do quadrado de lado a, sobrando um quadradinho (número 5) no meio, o qual tem lado c. Vide figura 4. (Cfr. Mathematical Gazette, 1932, P. 44.)

NR: Ainda sobre Artefatos e o Teorema de Pitágoras existe um artigo da autoria de L. Rampazzo, publicado no n.° 16 da Revista de Ensino de Ciências, da FUNBECC, p. 25.